Concept de nombres négatifs, exemples, opérations

Les Nombres négatifs Ce sont eux à gauche de la ligne numérique, toujours précédés d'un signe -. Grâce aux négatifs, il est possible de représenter des quantités en dessous ou à gauche de 0.

Ces chiffres participent activement à la vie quotidienne: par exemple si quelqu'un a une dette de 5 $, mais il ne peut payer que 3 $, doit 2 $. La dette est indiquée avec un signe négatif pour le distinguer de la somme payée.

Figure 1. Schéma de nombres négatifs et positifs

Positions bas au niveau de la mer, les températures en dessous du point de congélation de l'eau et des sols plus bas que le niveau de la rue peuvent être indiquées par des nombres négatifs.

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Quels sont les nombres négatifs pour?

L'existence des négatifs étend les opérations numériques possibles. Mettons l'exemple de la soustraction de deux nombres. Si ces chiffres appartiennent aux indigènes 1, 2, 3, 4, 5 ... La soustraction n'a de sens que si elle est fait en soustrayant un autre nombre de moins que lui.

Le résultat de l'opération 10 - 7 = 3 est raisonnable, car en principe, nous ne pouvons pas enlever un montant de plus qu'il ne le représente.

Cependant, avec les négatifs, cette autre situation serait bien décrite: nous voulons acheter quelque chose qui vaut 20 $, mais nous n'avons que 15 $ et nous avons demandé 5 $ à un ami. La dette, comme nous l'avons dit, est marquée d'un signe négatif et donc de 15 - 20 = -5, qui est lue comme "moins 5".

L'ensemble des nombres entiers négatifs liés à celui des indigènes et 0, constituent l'ensemble le plus large de nombres entiers z.

Mais les négatifs peuvent également être fractionnaires ou décimaux et appartenir à un ensemble encore plus large: celui des nombres r réels, qui comprennent.

Avec tous, des opérations arithmétiques connues sont effectuées, en prenant soin de fonctionner en suivant des règles de signes simples qui sont expliqués ci-dessous.

Opérations avec des nombres négatifs

Avant d'effectuer des opérations avec des nombres négatifs, vous devez établir des règles simples pour gérer le signe (-) qui doit toujours être mis avant et l'ordre des nombres.

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Considérez la ligne numérique illustrée sur la figure, avec les négatifs à gauche de 0 et les positifs à droite.

Figure 2. La ligne numérique avec les négatifs en rouge. Source: Wikimedia Commons.

Les flèches de la ligne numérique dans les deux directions indiquent qu'il y a des nombres infinis. Observez également que l'ensemble numérique d'entiers est un ensemble ordonné et que tout nombre négatif est inférieur à 0 et que tout positif.

Ainsi, -4 est inférieur à 1, et -540 est inférieur à 84, par exemple.

Valeur absolue

La distance entre n'importe quel nombre et 0 est appelée valeur absolue. Cette distance est toujours positive et indique les barres verticales, de cette manière:

│-5│ = 5

│ + √6│ = √6

│-3 / 4│ = 3/4

│-10.2│ = 10.2

C'est-à-dire que la valeur absolue de n'importe quel nombre, qu'elle soit positive ou négative, est le nombre positif du nombre. Ce concept nous servira plus tard lorsque vous opérez avec des nombres négatifs.

Signe

Un autre détail très important est la distinction entre le signe du nombre et le signe de l'opération.

Lorsqu'un nombre est positif, le nombre du nombre est généralement omis et il est entendu qu'il est positif de toute façon, mais avec les négatifs qui ne sont pas possibles, il est donc nécessaire d'utiliser des parenthèses, voyons: voyons:

-Correct: 17 - (-6) ou aussi +17 - (-6)

-Incorrect: 17 - -6

-Incorrect: -5 + +7

-Correct: - 5 + (+7) ou aussi -5 + 7

Une fois que les concepts de valeur absolue, l'ordre et l'importance du signe négatif sont clairs, nous pouvons passer aux opérations élémentaires.

Ajout

Nous distinguons les cas suivants, en commençant par la somme de deux points positifs, dont la procédure est déjà très familière:

-Ajouter deux nombres positifs: (+ a) + (+ b) = a + b

Ce qui signifie que nous ajoutons comme d'habitude, voyons:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

-Ajouter deux nombres négatifs: (-a) + (-b) = - (a + b)

Dans ce cas, nous ajoutons les valeurs absolues des nombres et au résultat, un signe négatif est mis avant, comme ceci:

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(-7) + (-11) = - (7+ 11) = - 18

-Ajouter un négatif et un positif: (+ a) + (-b)

Pour cette opération, les valeurs absolues sont soustraites et le résultat porte le signe du nombre avec la valeur absolue la plus élevée. Faisons quelques cas:

a) (-16) + (+3)

Les valeurs absolues respectives sont de 16 et 3, le nombre avec la valeur absolue la plus élevée est de 16, dont le signe est négatif, alors:

(-16) + (+3) = - (16 - 3) = -13

b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

La somme des négatifs est également commutative, ce qui signifie que l'ordre dans les annonces n'est pas important pour le résultat.

Les règles précédentes s'appliquent si vous souhaitez ajouter plus de deux nombres, ce qui peut être fait avec la propriété associative: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Avant de voir un exemple dans ce cas, voyons d'abord la soustraction de deux nombres entiers.

Soustraction

La soustraction est définie comme la somme de l'opposé. L'opposé d'un nombre A est -a, comme ceci:

-4 est l'opposé de + 4

½ est l'opposé de -½

S'ils nous demandent de réaliser la soustraction de deux nombres, quel que soit le signe, nous ajoutons simplement l'opposé de la seconde:

a) (-53) - (+ 8) = (-53) + (- 8) = - (53 + 8) = -61

b) (+7) - (-12) = (+7) + (+ 12) = 7 + 12 = 19

c) (+2) - (+ π) = (+2) + (- π) = 2 - π

Exemple

Effectuez l'opération suivante (+4) + (-7) + (+19)

Nous le réécrivons ainsi à l'aide de crochets pour indiquer l'opération à effectuer en premier:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [- (4 -7)] + 19 = [- (- 3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22

Multiplication

La règle des signes pour la multiplication est résumé dans la figure suivante:

figure 3. Règle des signes pour la multiplication. Source: F. Zapata.

Propriétés de multiplication

-Commutivité: L'ordre des facteurs ne modifie pas le produit, donc ≠ = b.Où a et b sont des nombres négatifs, entiers ou fractionnaires.

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-Association: Laissez les nombres entiers A, B et C, il est accompli que (un.b). C = a. (B.c)

-Distributivité concernant la somme: Laissez les nombres entiers A, B et C, il est valable que. (b + c) = a.b + a.c

Exemple

(-3/2) x [(-5) + (+4) - (+ 2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6) / 2 = 9/2

L'opération entre les crochets aurait également pu être résolu et le résultat multiplié par (-3/2), comme ceci:

(-3/2) x [-5 + 4-2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Division

La règle des signes pour la division est exposée dans le chiffre suivant:

Figure 4. Règle des signes pour la division. Source: F. Zapata.

La division n'est pas commutative et généralement à ÷ b ≠ B ÷ a, n'étant pas autorisé à la division entre 0. Regardons un exemple:

(-54) ÷ (+3) = -18

Pour obtenir ce résultat, le quotient est simplement effectué et le signe est choisi en fonction du tableau illustré sur la figure, qui correspond à la troisième option en haut.

Potentialisation

La potentialisation est le fonctionnement de la forme pourⁿ, Où est la base et n est l'exposant. La base et l'exposant peuvent avoir n'importe quel signe.

-Si la base est négative ou positive et que l'exposant est entier, le résultat de l'opération est toujours positif.

-Lorsque la base est positive et que l'exposant est entièrement le résultat est positif.

-Et si la base est négative et que l'exposant est impair, le résultat est négatif.

Les exposants fractionnels seront exprimés alternativement sous forme de racine, par exemple une racine carrée équivalente à l'exposant fractionnaire ½, une racine cubique égale à l'exposant 1/3 et ainsi de suite.

Regardons quelques exemples:

a) (-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 ^-1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) ^1/3 = racine cubique de 8 = 2

Les références

1. Baldor, un. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 7e. degré. Éditions co-bo.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Les mathématiques sont amusantes. Comment ajouter et soustraire des nombres positiv et négatifs. Récupéré de: Mathisfun.com
5. Wikipédia. Nombres négatifs. Récupéré de: est.Wikipédia.org.