Propriétés de nombres complexes, exemples, opérations

Les nombres complexes Ils sont l'ensemble numérique qui couvre les nombres réels et toutes les racines des polynômes, y compris les racines uniformes des nombres négatifs. Ces racines n'existent pas dans l'ensemble des nombres réels, mais en nombres complexes est la solution.

Un nombre complexe consiste en une partie réelle et une autre appelée "imaginaire". La vraie partie s'appelle pour, Par exemple, et la partie imaginaire Ib, avec pour et b de vrais nombres et "j'aime" Unité imaginaire. De cette façon, le nombre complexe prend la forme:

Z = a + ib

Figure 1.- Représentation binomiale d'un nombre complexe en termes de partie réelle et de partie imaginaire. Source: Pixabay.

Des exemples de nombres complexes sont 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) I. Mais avant d'opérer avec eux, voyons où l'unité imaginaire provient de Toi, Considérant cette équation quadratique:

X² - 10x + 34 = 0

Dans lequel a = 1, b = -10 et c = 34.

Lorsque la formule de solvant est appliquée pour déterminer la solution, nous trouvons ce qui suit:

Comment déterminer la valeur de √-36? Il n'y a pas de nombre réel que le carré est une quantité négative. Ensuite, il est conclu que cette équation n'a pas de vraies solutions.

Cependant, nous pouvons écrire ceci:

√-36 = √-6² = √6² (-1) = 6√-1

Si nous définissons une certaine valeur X tel que:

X² = -1

Ensuite:

x = ± √-1

Et l'équation précédente aurait une solution. Par conséquent, l'unité imaginaire a été définie comme:

I = √-1

Et donc:

√-36 = 6i

De nombreux mathématiciens de l'antiquité ont travaillé sur la résolution de problèmes similaires, mettant en évidence la Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) et Raffaele Bombelli (1526-1572).

Des années plus tard, René Descartes (1596-1650) a appelé «imaginaire» à des quantités telles que le √-36 de l'exemple. Pour cette raison, le √-1 est connu comme le Unité imaginaire.

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Propriétés des nombres complexes

-L'ensemble des nombres complexes est indiqué comme C et comprend des nombres réels r et des nombres imaginaires IM. Les ensembles numériques sont représentés dans un diagramme de Venn, comme le montre la figure suivante:

Peut vous servir: exercices de factorisation résolus Figure 2. Venn Diagramme des ensembles numériques. Source: F. Zapata.

-Chaque nombre complexe se compose d'une partie réelle et d'une autre partie imaginaire.

-Lorsque la partie imaginaire d'un nombre complexe est 0, c'est un pur nombre réel.

-Si la partie réelle d'un nombre complexe est 0, alors le nombre est pur imaginaire.

-Deux nombres complexes sont les mêmes si leur partie réelle respective et leur partie imaginaire sont les mêmes.

-Avec les nombres complexes, les opérations connues des sommes, de la soustraction, de la multiplication, du produit et de l'autonomisation sont effectuées, ce qui entraîne un autre nombre complexe.

Représentation de nombres complexes

Les nombres complexes peuvent être représentés de diverses manières. Voici les principaux:

- Forme binomique

C'est la forme donnée au début, où z est le nombre complexe, pour est la vraie partie, b est la partie imaginaire et Toi C'est l'unité imaginaire:

Z = a + ib

Ou aussi:

Z = x + iy

Une façon de graphiquement le nombre complexe est le plan complexe illustré sur cette figure. L'axe imaginaire est vertical, tandis que l'axe réel est horizontal et dénote comme re.

Le nombre complexe z Il est représenté dans ce plan comme un point de coordonnée (X, y) soit (UN B), Comme cela est fait avec les points du vrai plan.

La distance de l'origine au point z est le module du nombre complexe, indiqué comme r, tandis que φ est l'angle qui forme r Avec le vrai axe.

figure 3. Représentation d'un nombre complexe dans le plan complexe. Source: Wikimedia Commons.

Cette représentation est étroitement liée à celle des vecteurs dans le vrai plan. La valeur de r correspond à module du nombre complexe.

Il peut vous servir: Gauss-Seidel Méthode: explication, applications, exemples

- Forme polaire

La forme polaire consiste à exprimer le nombre complexe donnant les valeurs de r et de φ. Si nous regardons la figure, la valeur de r Il correspond à l'hypoténuse d'un triangle droit. Les catégories valent pour et b, ou bien X et et.

Sous la forme binomiale ou binomiale, nous pouvons passer à la forme polaire par:

R = √x²+et²

L'angle φ C'est celui qui forme le segment R avec l'axe horizontal ou l'axe imaginaire. Il est connu comme argument du nombre complexe. De cette manière:

φ = arctg (y / x)

L'argument a des valeurs infinies, en tenant compte que chaque fois qu'un retour est tourné, ce qui vaut 2π radians, R occupe à nouveau la même position. De cette façon, en général, l'argument de Z, désigné Arg (Z), est exprimé comme suit:

Arg (z) = φ + 2kπ

Où k est entier et sert à indiquer la quantité de virages tournés: 2, 3, 4 .. . Le signe indique la signification de la rotation, si le temps ou l'antihorario est fait.

Figure 4. Représentation polaire d'un nombre complexe dans le plan complexe. Source: Wikimedia Commons.

Et si nous voulons passer la forme polaire à la forme binomiale, nous utilisons des raisons trigonométriques. D'après la figure précédente, nous pouvons voir que:

x = r cos φ

y = r sen φ

De cette façon z = r (cos φ + i sin φ)

Qui est abrégé comme ceci:

z = r cis φ

Exemples de nombres complexes

Les nombres complexes suivants sont donnés binomialement:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Et ceux-ci dans un couple ordonné:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Enfin, ce groupe reçoit un polaire ou un trigonométrique:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

Peut vous servir: Distribution hypergéométrique: formules, équations, modèle

c) 2 cis 315º

À quoi servent-ils?

L'utilité des nombres complexes va au-delà de la résolution de l'équation du deuxième degré indiqué au début, car elles sont essentielles dans le domaine de l'ingénierie et de la physique, en particulier dans:

-L'étude des ondes électromagnétiques

-Analyse de courant alternatif et de tension

-La modélisation de toutes sortes de signaux

-Théorie de la relativité, où le temps est supposé comme une ampleur imaginaire.

Opérations avec des nombres complexes

Avec les nombres complexes, nous pouvons effectuer toutes les opérations qui sont faites avec le réel. Certains sont plus faciles à faire si les nombres viennent binomiquement, comme la somme et la soustraction. D'un autre côté, la multiplication et la division sont plus simples si elles sont effectuées avec la forme polaire.

Regardons quelques exemples:

- Exemple 1

Ajouter z₁ = 2 + 5i et z₂ = -3 -8i

Solution

Les parties réelles sont ajoutées séparément des parties imaginaires:

z₁ + z₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exemple 2

Multiplier z₁ = 4 cis 45º et z₂ = 5 cis 120º

Solution

Il peut être démontré que le produit de deux nombres complexes en polaire ou trigonométrique est donné par:

z₁ . z₂ = r₁.r₂ Cis (φ₁ + φ₂)

Selon ce:

z₁ . z₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Application

Une application simple de nombres complexes consiste à trouver toutes les racines d'une équation polynomiale comme celle montrée au début de l'article.

Dans le cas de l'équation x² - 10x + 34 = 0, lors de l'application de la formule de solvant, il est obtenu:

Par conséquent, les solutions sont:

X₁ = 5 + 3i

X₂ = 5 - 3i

Les références

1. Earl, R. Nombres complexes. Récupéré de: mathématiques.bœuf.CA.ROYAUME-UNI.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1er. Diversifié. Éditions co-bo.
3. Hoffmann, J. 2005. Sélection de problèmes de mathématiques. Publications Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Wikipédia. Nombres complexes. Récupéré de: dans.Wikipédia.org