Numéro Euler ou numéro E combien vaut-il, propriétés, applications

Il Numéro d'Euler ou numéro E C'est une constante mathématique bien connue qui apparaît fréquemment dans de nombreuses applications scientifiques et économiques, ainsi que le nombre π et d'autres nombres importants en mathématiques.

Une calculatrice scientifique propose la valeur suivante pour le nombre e:

Figure 1. Le nombre d'Euler apparaît fréquemment dans la science. Source: F. Zapata.

E = 2.718281828…

Mais beaucoup plus de décimales sont connues, par exemple:

E = 2.71828182845904523536…

Et les ordinateurs modernes ont permis un million de milliers de dollars au nombre E.

C'est un nombre irrationnel, Ce qui signifie qu'il a une quantité infinie de décimales sans modèle répétitif (la séquence 1828 apparaît deux fois au début et ne se répète plus).

Et cela signifie également que le nombre E ne peut pas être obtenu comme le quotient de deux nombres entiers.

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Histoire

Le numéro et Il a été identifié par le scientifique Jacques Bernoulli en 1683 lorsqu'il a étudié le problème de l'intérêt composé, mais auparavant il était indirectement apparu dans les œuvres du mathématicien écossais John Napier, qui a inventé les logarithmes pour 1618.

Cependant, c'est Leonhard Euler en 1727 qui lui a donné le nom du numéro E et a étudié intensivement ses propriétés. C'est pourquoi il est également connu comme le Numéro d'Euler et aussi comme base naturelle pour les logarithmes népériens (un exposant) utilisés.

Combien vaut le nombre E?

Le numéro E Vale:

E = 2.71828182845904523536…

Les points suspendus signifient qu'il y a une quantité infinie de décimales et en fait, des millions d'entre eux sont connus avec des ordinateurs actuels.

Représentations du numéro E

Il existe plusieurs façons de définir E que nous décrivons ci-dessous:

Le nombre e comme limite

L'une des différentes façons dont le nombre E est exprimé est celui que le scientifique Bernoulli a trouvé dans son travail sur l'intérêt composé:

Dans lequel vous devez faire la valeur n un très grand nombre.

Il est facile à vérifier, à l'aide d'une calculatrice, que lorsque n Il est très grand, l'expression précédente tend à la valeur de et donnée ci-dessus.

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Bien sûr, nous pouvons nous demander quelle est la taille n, Nous essayons donc avec des nombres ronds, comme ceux-ci par exemple:

n = 1000; dix.000 ou 100.000

Dans le premier cas, vous obtenez e = 2.7169239… . Dans le deuxième e = 2.7181459… et dans le troisième, il est beaucoup plus proche de la valeur de et: 2.7182682. On peut déjà apparaître qu'avec n = 1.000.000 ou plus, l'approche sera encore meilleure.

En langue mathématique, la procédure de fabrication n Il se rapproche et plus d'une très grande valeur, on l'appelle limite à l'infini Et il est indiqué comme ceci:

Pour désigner l'infini, le symbole "∞" est utilisé.

Le nombre e comme somme

Il est également possible de définir le numéro E via cette opération:

Les chiffres qui apparaissent dans le dénominateur: 1, 2, 6, 24, 120 ... correspondent à l'opération n!, où:

n! = n. (N-1).(N-2). (N-3) ..

Et par définition 0! = 1.

Il est facile de vérifier que plus les ajouts sont ajoutés, plus le nombre est atteint et.

Faisons quelques tests avec la calculatrice, en ajoutant des ajouts de plus en plus:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Plus ils sont ajoutés à la somme, plus le résultat est similaire et.

Les mathématiciens ont conçu une notation compacte pour ces sommes qui impliquent de nombreux termes, en utilisant le symbole de somme σ:

Cette expression est lue comme "somme de n = 0 à l'infini de 1 entre n factorielle".

Le numéro E du point de vue géométrique

Le nombre E a une représentation graphique liée à la zone sous le graphique de la courbe:

y = 1 / x

Lorsque les valeurs de x sont comprises entre 1 et E, cette zone vaut 1, comme illustré dans la figure suivante:

Figure 2. Représentation graphique du nombre E: la zone sous la courbe 1 / x, entre x = 1 et x = e O'Clock. Source: F. Zapata.

Numéro E Properties

Certaines des propriétés du numéro E sont:

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-Il est irrationnel, en d'autres termes, il ne peut pas être obtenu simplement en divisant deux nombres entiers.

-Le numéro et C'est aussi un Numéro transcendant, ce qui signifie que et Ce n'est pas une solution d'une équation polynomiale.

-Il est lié à quatre autres nombres célèbres dans le domaine des mathématiques, à savoir: π, i, 1 et 0, à travers l'identité d'Euler:

et^πi + 1 = 0

-Les appels nombres complexes peut être exprimé par e.

-Il constitue aujourd'hui la base des logarithmes naturels ou népériens (la définition originale de John Napier diffère un peu).

-C'est le seul numéro tel que son logarithme népérienne vaut 1, c'est-à-dire:

 ln e = 1

Applications

Statistiques

Le nombre E apparaît très fréquemment dans le domaine de la probabilité et des statistiques, apparaissant dans diverses distributions, telles que la normale ou le gaussien, celle de Poisson et d'autres.

Ingénierie

En ingénierie, il est fréquent, car la fonction exponentielle y = e^X Il est présent dans la mécanique et l'électromagnétisme, par exemple. Parmi les nombreuses applications que nous pouvons citer:

-Un câble ou une chaîne suspendue aux extrémités, adopte la forme de la courbe donnée par:

y = (e^X + et^-X) / 2

-Un condenseur C initialement déchargé, qui se connecte en série à une résistance R et à une source de tension V à charger, acquiert une certaine charge Q en fonction du temps t donné par:

Q (t) = cv (1-e^{-T / RC})

la biologie

La fonction exponentielle y = a.et^Bx, Avec une constante A et B, il est utilisé pour modéliser la croissance cellulaire et la croissance bactérienne.

Physique

En physique nucléaire, la décroissance radioactive et la détermination des âges sont modélisées par radiocarbone daté.

Économie

Dans le calcul de l'intérêt composite, le nombre e survient naturellement.

Supposons que vous ayez une certaine somme d'argent P_soit, l'investir à un taux d'intérêt annuel.

Si l'argent est laissé pendant 1 an, après cette période, vous aurez:

P (1 an) = P_soit + P_soit.i = p_soit (1+ i)

Après une autre année sans le toucher, vous aurez:

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P (2 ans) = P_soit + P_soit.i + (p_soit + P_soit .i) i = p_soit +2 P_soit.i + p_soit.Toi²  = Po (1 + i)²

Et de cette façon par n années:

P = P_soit (1 + i)ⁿ

Rappelez-vous maintenant l'une des définitions de E:

Cela ressemble un peu à l'expression de P, donc il doit y avoir une relation.

Nous distribuerons le taux d'intérêt nominal Toi dans n Périodes, de cette manière, le taux d'intérêt composé sera I / N:

P = P_soit [1+ (i / n)]ⁿ

Cette expression semble un peu plus sur notre limite, mais elle n'est pas encore exactement la même.

Cependant, après certaines manipulations algébriques, il peut être démontré que ce changement de variable:

h = n / i → i = n / h

Notre argent P devient:

P = P_soit [1+ (1 / h)]^Salut = P_soit [1+ (1 / h)]^HToi

Et qu'est-ce qui est parmi les clés, même si elle est écrite avec la lettre H, Il est égal à l'argument de la limite qui définit le nombre E, manquant juste en prenant la limite.

Faisons  H → ∞, et ce qui se passe entre les clés est transformé en nombre et. Cela ne signifie pas que nous devons attendre un temps infiniment grand pour retirer notre argent.

Si nous avons l'air bien, quand nous faisons H = n / i Et tendance à ∞, ce que nous avons vraiment fait, c'est de distribuer le taux d'intérêt en très, très petites périodes: très petit:

I = n / h

C'est appelé Capitalisation continue. Dans ce cas, le montant d'argent est facilement calculé comme suit:

P = P_soit .et^Toi

Où je suis le taux d'intérêt annuel. Par exemple, en déposant de 12 à 9% par an, par une capitalisation continue, après un an, vous avez:

P = 12 x e^{0.09 × 1} € = 13.13 €

Avec un gain de 1.13 €.

Les références

1. Profitez des mathématiques. Intérêt composé: composition périodique. Récupéré de: Priematimaticas.com.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1er. Diversifié. Éditions co-bo.
3. Garcia, m. Le nombre e dans le calcul élémentaire. Récupéré de: mathématiques.Civils.UCV.aller.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.