Méthode axiomatique

Quelle est la méthode axiomatique?

Il méthode axiomatique Il s'agit d'une procédure formelle utilisée par la science à travers laquelle les déclarations ou les propositions appelées axiomes sont formulées, liées les unes aux autres par une relation de déductibilité et qui sont la base des hypothèses ou des conditions d'un certain système.

Cette définition générale doit être encadrée dans l'évolution que cette méthodologie a eu tout au long de l'histoire. Tout d'abord, il existe une méthode ancienne ou de contenu, née dans la Grèce antique d'Euclide puis développée, par Aristote.

Deuxièmement, déjà au XIXe siècle, l'apparition d'une géométrie avec des axiomes autres que ceux d'Euclide. Et enfin, la méthode axiomatique formelle ou moderne, dont l'exposant maximum était David Hilbert.

Au-delà de son développement au fil du temps, cette procédure a été la base de la méthode déductive en utilisant la géométrie et la logique d'où il est originaire. Il a également été utilisé en physique, en chimie et en biologie.

Et même appliqué au sein des sciences juridiques, de la sociologie et de l'économie politique. Cependant, actuellement sa sphère d'application la plus importante est les mathématiques et la logique symbolique et certaines branches de la physique telles que la thermodynamique, la mécanique, entre autres disciplines.

Caractéristiques de la méthode axiomatique

Bien que la caractéristique fondamentale de cette méthode soit la formulation des axiomes, ceux-ci n'ont pas toujours été considérés de la même manière.

Il y en a qui peuvent être définis et construire arbitraire. Et d'autres, selon un modèle dans lequel sa vérité garantie intuitivement est considérée.

Afin de comprendre spécifiquement en quelle différence et ses conséquences consistent, il est nécessaire de parcourir l'évolution de cette méthode.

Méthode axiomatique ancienne ou de contenu 

Est établi dans la Grèce antique vers le 5ème siècle.C. Sa sphère d'application est la géométrie. Le travail fondamental de cette étape est les éléments d'Euclide, bien qu'il soit considéré que devant lui, Pythagore, avait déjà donné naissance à la méthode axiomatique.

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Ainsi, les Grecs prennent certains faits comme des axiomes, sans aucune preuve logique nécessaire, c'est-à-dire sans avoir besoin de démonstration, car pour eux, ils sont une vérité évidente par elle-même.

Pour sa part, Euclide présente cinq axiomes pour la géométrie:

1. Dice deux points Il y a une ligne qui les contient ou les unit.
2. Tout segment peut être prolongé en continu sur une ligne illimitée des deux côtés.
3. Vous pouvez dessiner une circonférence qui a un centre n'importe où et n'importe quel rayon.
4. Les angles droits sont tous les mêmes.
5. Prenant toute ligne droite et tout point qui n'y est pas, il y a une ligne droite parallèle à celle et qui contient à ce point. Cet axiome est connu, plus tard, comme l'axiome des parallèles et a également été déclaré: par un point externe vers une ligne, vous pouvez dessiner un seul parallèle.

Cependant, les mathématiciens Euclide et ultérieurs conviennent que le cinquième axiome n'est pas aussi clair intuitivement que les 4 autres. Même pendant la Renaissance, il essaie de déduire le cinquième des 4 autres, mais ce n'est pas possible.

Cela a provoqué que au XIXe siècle, qui a maintenu les cinq partisans de la géométrie euclidienne et ceux qui ont nié le cinquième, étaient ceux qui ont créé les géométries non euclidiennes.

Axiomatique non -euclidien

Ce sont précisément Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai et Johann Karl Friedrich Gauss qui voient la possibilité de construire, sans contradiction, une géométrie qui vient de systèmes axioms autres que ceux des euclides. Cela détruit la croyance en la vérité absolue ou priori des axiomes et des théories qui en tirent.

Par conséquent, les axiomes commencent à être conçus comme des points de départ d'une théorie spécifique. À la fois votre choix et le problème de sa validité d'une manière ou d'une autre, commencent à se rapporter à des faits en dehors de la théorie axiomatique.

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De cette façon, les théories géométriques, algébriques et arithmétiques construites à travers la méthode axiomatique apparaissent.

Cette étape se termine par la création de systèmes axiomatiques pour l'arithmétique tels que Giuseppe Peano en 1891; Géométrie de David Hubert en 1899; Les déclarations des prédicats d'Alfred North Whitehead et Bertrand Russell en Angleterre en 1910; La théorie axiomatique d'Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo se déroule en 1908.

Méthode axiomatique moderne ou formelle

C'est David Hubert qui commence la conception d'une méthode axiomatique formelle et qui mène à son point culminant, David Hilbert.

C'est précisément Hilbert qui formalise la langue scientifique, considérant leurs déclarations comme des formules ou des séquences de signes qui n'ont aucun sens en soi. Ils n'acquièrent que dans une certaine interprétation.

Dans "Les fondements de la géométrie»Expliquez le premier exemple de cette méthodologie. De là, la géométrie devient une science des conséquences logiques pures, qui sont extraites d'un système d'hypothèse ou d'axiomes, mieux articulé que le système euclidien.

En effet, dans l'ancien système, la théorie axiomatique est basée sur les preuves des axiomes. Entre-temps, dans le fondement de la théorie formelle, il est donné par la démonstration de la non-contradiction de ses axiomes.

Étapes de la méthode axiomatique

La procédure qui réalise une structuration axiomatique au sein des théories scientifiques reconnaît:

• A-Le choix d'une certaine quantité d'axiomes, c'est-à-dire un certain nombre de propositions d'une certaine théorie qui sont acceptées sans être démontrées.
• B-Les concepts qui font partie de ces propositions ne sont pas déterminés dans le cadre de la théorie donnée.
• C.
• D.

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Exemples

Cette méthode peut être vérifiée par la démonstration des deux théorèmes Euclides les plus connus: le théorème de la catégorie et la hauteur.

Les deux découlent de l'observation de ce géomètre grec que lorsque la hauteur est dessinée par rapport à l'hypoténuse dans un triangle rectangle, deux autres triangles de l'apparence originale. Ces triangles sont similaires les uns aux autres et en même temps similaires avec le triangle d'origine. Cela signifie que leurs homologues respectifs sont proportionnels.

On peut voir que les angles congruents dans les triangles de cette manière vérifient la similitude qui existe entre les trois triangles impliqués conformément aux critères de similitude AAA. Ce critère soutient que lorsque deux triangles ont tous leurs angles égaux sont similaires.

Une fois qu'il est démontré que les triangles sont similaires, les proportions spécifiées dans le premier théorème peuvent être établies. Le même indique que dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cateto est une géométrique moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et la projection du cateto.

Le deuxième théorème est la hauteur. Il spécifie que tout triangle rectangle la hauteur qui est dessinée selon l'hypoténuse est une géométrique moyenne proportionnelle entre les segments déterminés par cette moyenne géométrique sur l'hypoténuse.

Bien sûr, les deux théorèmes ont de nombreuses applications dans le monde non seulement dans le domaine de l'enseignement, mais aussi dans l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie.