Mouvement harmonique simple

Nous expliquons quel est le mouvement harmonique simple, ses formules, plusieurs exemples et un exercice résolu

Quel est le mouvement harmonique simple?

Il Mouvement harmonique simple Il s'agit d'un mouvement oscillatoire, dans lequel la position change au fil du temps après une fonction cosénoïdale ou sinusoïdale. Les deux types de fonctions sont appropriés.

La plupart des oscillations suivent la loi harmonique, à condition que son amplitude soit petite. Au contraire, lorsque l'amplitude de l'oscillation est grande, le mouvement a tendance à être anarmonique et ne suit pas la loi cosénoïdale.

C'est le cas d'un pendule: bien que l'amplitude de l'oscillation soit de quelques degrés par rapport à la position d'équilibre, son oscillation est harmonieuse. Par conséquent, la fréquence ou la période d'oscillation est constante et ne dépend pas de l'amplitude ou de la plage de l'oscillation. 

En d'autres termes, le temps qui prend le pendule pour aller revenir, est le même si le pendule est à l'origine quitté de l'équilibre 1 ou de 10 degrés. Au-dessus de 15 degrés d'amplitude, le comportement du pendule cesse d'être harmonieux et le temps aller-retour dépend de l'amplitude d'oscillation maximale.

En raison de cette propriété des oscillations harmoniques du pendule, elles sont utilisées pour synchroniser correctement les horloges murales traditionnelles. 

D'un autre côté, dans les montres électroniques modernes, le temps est calibré avec l'oscillation harmonique et constante des électrons à l'intérieur d'un cristal de quartz, inséré dans le circuit de montre.

Il est caractéristique du mouvement harmonique que la période ou la fréquence de l'oscillation est indépendante de l'amplitude (ou de la gamme) de l'oscillation. En revanche, la fréquence d'oscillation des oscillations non anrmones change avec l'amplitude de l'oscillation.

Exemples d'oscillations dans la vie quotidienne

Dans la vie quotidienne, il y a des mouvements oscillatoires qui peuvent être décrits comme le simple mouvement harmonique de l'un de ses points, comme:

1. L'oscillation d'un objet a accroché à la fin d'une corde.
2. L'oscillation de la cloche d'une église.
3. Le pendule d'une horloge murale.
4. L'oscillation d'un poids soumise à la fin d'un printemps ou d'un ressort, loin de sa position d'équilibre.
5. Le swing du printemps dans la cour de récréation.
6. La vibration d'un marteau pneumatique avec lequel le béton des rues est brisé.
7. Le mouvement oscillatoire des ailes d'un oiseau en vol.
8. Les vibrations du cœur.
9. La vibration d'un point sur la corde d'une guitare.
10. Il monte et descendit d'une bouée qui flotte sur la mer.

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Formules et relations du mouvement harmonique simple

Pour décrire le mouvement oscillatoire harmonique d'un point sur une ligne horizontale, une origine (valeur nulle) et une orientation positive vers la droite est définie dessus.

Dans ce cas, la position est donnée par un nombre, comme:

• Si le point est à l'origine, alors sa position sera x = 0.
• Lorsque 3 cm est à droite, il occupe la position x = 3cm
• Et s'il est à 5 cm à gauche de l'origine, c'est en x = -5cm.

En général, La position x en fonction du moment de Temps t d'un point qui oscille harmoniquement Axe x, avec centre d'oscillation à l'origine et amplitude a, Il est donné par la formule suivante, qui contient la fonction trigonométrique Coseno:

x (t) = a⋅cos (ω⋅t + φ)

Où, ω (oméga) est le fréquence angulaire d'oscillation et φ (phi) le phase initiale du mouvement.

Fréquence naturelle et fréquence angulaire

Dans un mouvement harmonique simple, la fréquence d'oscillation est définie comme le nombre d'oscillations qui se produisent dans une certaine unité de temps.

Par exemple, si la cloche de l'église varie 50 fois en 1 minute, sa fréquence F Il est exprimé comme ceci: 

F = 50 oscillations / minute

La fréquence de cette même cloche peut être exprimée en oscillations pour chaque seconde comme suit:

F = 50 oscillations / 60 secondes = ⅚ Oscillations / s = 0,8333 Hz

L'unité de fréquence d'oscillation dans le système de mesures internationales (OUAIS) est le Hertzio (Hz) et est défini comme 1 oscillation par seconde.

La fréquence d'une station de radio FM est de l'ordre des 100 mégahertzios, c'est la fréquence d'oscillation des électrons dans l'antenne d'émission.

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D'un autre côté, le F est définiextension angulaire Ω comme le produit du fréquence naturelle f multiplié par deux fois le nombre Pi, c'est-à-dire:

Ω = 2π⋅f

Dans le cas de l'exemple de la cloche de l'église qui oscille à 0,8333 Hz, sa fréquence angulaire sera:

Ω = 2π rad⋅5 / 6 Hz = 5/3π rad / s = 5 236 rad / s

Il convient de noter que tandis que la fréquence naturelle F Il est mesuré à Hertzios (HZ), tandis que la fréquence angulaire Ω Il est mesuré en radianes environ (rad / s).

Période

La période est le temps où une oscillation complète est donnée. Pour le calculer, il suffit de diviser le temps t dans lequel les oscillations sont terminées et le résultat est la période de l'oscillateur harmonique.

Par exemple, si la cloche de l'église fait 50 oscillations en une minute, alors pour obtenir la période T Diviser 1 min entre 50 oscillations et le résultat est:

T = 1 min / 50 osc = 1/50 min = 0,02 min.

Pour exprimer la période en secondes, les minutes deviennent des secondes de la manière suivante:

T = 60s / 50 os = 6/5 min = 1,2 s

Pendule simple

Un pendule simple se compose d'une corde attachée par une extrémité à un point fixe et de l'autre pend un objet de masse m, qui peut aller. Si l'amplitude des oscillations de pendule ne dépasse pas 15 degrés, il y a alors des oscillations harmoniques, dont la fréquence angulaire ne dépend que de la longueur du pendule et de la valeur de l'accélération de la gravité locale.

La fréquence angulaire Ω d'un simple pendule de longueur L dans un endroit où l'accélération de la gravité est g Il est donné par la relation suivante:

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Ω = √ (g / l)

Et ses règles sont données par:

T = 2π⋅√ (l / g)

Système de contrat de masse

Se compose d'une masse M soumis à la fin d'un ressort constant élastique k. La fréquence angulaire du système de masse à ressort est donnée par la formule suivante:

Ω = √ (k / m)

Tandis que la période dudit système est:

T = 2π⋅√ (m / k)

Exercice résolu

Trouvez la longueur d'un tel pendule que si une masse de 1 kg est suspendue. Il est connu que l'accélération de gravité du lieu est de 9,8 m / s².

Solution

Comme l'amplitude de l'oscillation est inférieure à 15 degrés, il est connu que la période ne dépend pas de l'angle d'oscillation maximum ou de la valeur de la pâte, car il s'agit d'un simple mouvement harmonique.

La relation entre la période carrée et la longueur dans un pendule simple est:

T² = (2π)²⋅l / g

Grâce à une simple autorisation, vous obtenez:

L = g 30 (t / 2π)²

En remplaçant la période T pour sa valeur de 1 s et en utilisant la valeur locale de G, la longueur du pendule est L = 0,248 m≃ 25 cm, comme le lecteur peut vérifier.