Quantité de moment angulaire, conservation, exemples, exercices

Il moment angulaire o La quantité de mouvement angulaire est, pour le mouvement de rotation, quel est le moment linéaire pour le mouvement de traduction. C'est une ampleur vectorielle qui caractérise la rotation d'une particule ponctuelle ou d'un objet étendu autour d'un axe qui passe à travers un point.

Cela signifie que chaque fois que le moment angulaire sera calculé, l'axe de rotation doit être spécifié commodément.

En commençant par un point de masse matériel, le moment angulaire est indiqué par L, le moment linéaire comme p et la position de la particule par rapport à un axe qui passe par un certain point ou est r, ensuite:

L = r X p

Les lettres en gras sont réservées aux amplitudes vectorielles et la croix signifie que le moment angulaire est le produit vectoriel entre le vecteur de position r Et le moment linéaire p de la particule. Le vecteur qui résulte d'un produit vectoriel est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs participants.

Cela signifie que la direction et le sens de L Ils peuvent être trouvés par règle de la main droite pour le produit croisé.

Dans le système international d'unités, les unités de moment angulaire sont kg⋅m²/ s, qui n'ont pas de nom spécial. Et pour un corps étendu, qui est composé de nombreuses particules, la définition précédente s'étend commodément.

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Quantité de mouvement angulaire

Relation entre les vecteurs de moment angulaire par rapport à un point donné ou un temps linéaire pour une particule ponctuelle qui se déplace en cercle. Source: modifiée par f. Zapata de Wikimedia Commons.

L'amplitude du vecteur de moment angulaire est en fonction de la définition du produit vectoriel:

L = r⋅m⋅v⋅VEN ϕ = mV (r⋅sen ϕ) = mvℓ

Où ϕ est l'angle entre les vecteurs r et V. Alors ℓ = r sen ϕ est la distance perpendiculaire entre la ligne de V Et le point ou.

Dans le cas de la particule qui se déplace décrivant la circonférence montrée dans l'image supérieure, cet angle est de 90 °, car la vitesse est toujours tangente à la circonférence et donc perpendiculaire au rayon.

Donc sen 90º = 1 et l'ampleur de L est:

L = m⋅r⋅v

Le moment de l'inertie

Le moment d'inertie d'un corps rigide décrit l'inertie du corps contre la rotation autour d'un certain axe.

Cela dépend non seulement du corps du corps, mais aussi de la distance à l'axe de rotation. Ceci est facilement compréhensible lorsque vous pensez que pour certains objets, il est plus facile de tourner par rapport à certains axes qu'à d'autres.

Pour un système de particules, le moment d'inertie, indiqué par la lettre I, est donné par:

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I = ∑ r_Toi² Δm_Toi

Où Δm_Toi  C'est une petite partie de la pâte et R_Toi C'est sa distance de l'axe de rotation. Un corps étendu est composé de nombreuses particules, d'où son moment d'inertie totale est la somme de tous les produits entre la masse et la distance, des particules qui le composent.

S'il s'agit d'un corps étendu, l'été passe à une intégrale et Δm Cela devient un différentiel massique DM. Les limites d'intégration dépendent de la géométrie des objets:

I = ∫_M (r²) DM

Le concept de moment d'inertie est étroitement lié au moment angulaire d'un objet étendu, comme nous le verrons alors.

Moment angulaire d'un système de particules

Considérer un système de particules, composé de masse Δm_Toi qui tourne en suivant un cercle dans le plan Xy, Chacun a une vitesse linéaire liée à sa vitesse angulaire, ce dernier pour toutes les particules:

V_Toi = Ωr_Toi

Où r_Toi C'est la distance à l'axe de rotation ou. Ainsi, l'ampleur du moment angulaire est:

L_Toi = Δm_Toi. r_Toi. (Ωr_Toi) = r_Toi²Ω Δm_Toi

Le moment angulaire du système sera donné par la somme:

L = Ω ∑ r_Toi² Δm_Toi

Nous identifions rapidement le moment d'inertie, tel que défini dans la section précédente, et donc l'ampleur de son moment angulaire reste ceci:

L = iΩ

Comme nous l'avons dit que le système de particules était dans le plan XY, il s'avère que le moment angulaire est dirigé le long de l'axe z, perpendiculaire audit avion. La signification est donnée par la rotation: le moment angulaire.

Un corps étendu peut être divisé en tranches, chacune avec un moment angulaire donné par L = iΩ réalisé le long de l'axe z. Si l'axe de symétrie d'objet coïncide avec l'axe Z, il n'y a pas de problème, car même pour les points qui ne sont pas dans le plan XY, les composants du moment angulaire perpendiculairement audit axe sont annulés.

VECTORIELLEMENT:

L = IΩ

Cette équation est valable pour les objets à trois dimensions qui tournent autour d'un axe de symétrie.

Quand le moment angulaire varie?

Lorsqu'une force nette agit sur une particule ou un corps, son moment linéaire peut changer, et par conséquent il fera également son moment angulaire. Pour savoir quand nous varions, nous utilisons le dérivé, ce qui nous donnera le taux de changement au fil du temps, s'il y a:

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Application de la règle du produit pour le dérivé:

Le terme V x mV Il est vide, car c'est le produit d'un vecteur avec lui-même, et au deuxième terme, nous trouvons la force nette F = mpour, donc:

Le produit vectoriel r X F Ce n'est rien d'autre que le couple ou le moment de la torsion nette, parfois indiqué avec les paroles grecques τ ou comment M, Toujours audacieux, car c'est un montant vectoriel. Ensuite, par analogie avec le moment linéaire, le moment angulaire varie tant qu'il y a un couple ou un moment de torsion nette:

dL/ dt = M

Conservation du moment angulaire

D'après les sections précédentes, nous avons vu que:

dL/ dt = M

C'est-à-dire que le moment angulaire varie quand il y a un moment de torsion nette. S'il n'y a pas de moment de torsion nette, alors:

dL/ dt = 0 → L C'est constant

En d'autres termes:

Momennt angulaire initial = moment angulaire final

Ce résultat est toujours valable dans le cas où un corps n'est pas rigide, comme nous le verrons dans les exemples suivants.

Exemples

Le moment angulaire est une ampleur importante qui est révélée dans de nombreuses situations, qui démontre à quel point elle est universelle:

Patinage artistique et autres sports

À gauche, le patineur commence à tourner avec des bras étendus, à droite, rétrécit les bras contre le corps et traverse les jambes pour augmenter sa vitesse de virage. Source: Wikimedia Commons.

Chaque fois qu'un corps qui tourne les contrats, sa vitesse de rotation augmente, cela connaît bien les patineurs de glace.

En effet, lorsque nous contractons les bras et les jambes, le moment d'inertie, je diminue, à mesure que la distance entre ses parties diminue, mais à mesure que le moment angulaire est préservé, pour maintenir le produit iω constant, la vitesse angulaire doit augmenter.

Ceci est valable non seulement dans le patinage, mais aussi dans les sports et les activités dans lesquelles les virages doivent.

Les chats sont debout

Les chats les réparent toujours pour atterrir à quatre pattes quand ils tombent. Même s'ils n'ont pas une quantité de mouvement initial, ils s'assurent qu'ils tournent rapidement les jambes et la queue pour changer leur inertie de rotation et les réparer pour se tenir debout.

De même, lors de la manœuvre, leur moment angulaire est vide, car leur rotation n'est pas continue.

Le mouvement d'un frisbee

Un frisbee doit être lancé en l'impression pour voler, car sinon il tombe. En effet, le moment angulaire.

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Les balles dans les sports

Le baseball, le football, le basket-ball et d'autres balles sportives ont un élan angulaire. Comme ils sont sphériques, ils ont un moment d'inertie et pendant le jeu, ils sont tournés. Comme le moment de l'inertie d'une sphère est:

I = (2/5) M²

Où m est la masse de la balle et r son rayon, le moment d'inertie par rapport à un certain axe (fixe) est:

L = (2/5) M²Ω

La monture de lune

La lune s'éloigne de la terre, car la vitesse de rotation de la terre diminue en raison de la friction entre les grandes masses aquatiques et l'arrière-plan de la mer.

Le système Earth-Luna conserve son moment angulaire.

L'atome

Le premier postulat du modèle atomique de Bohr stipule qu'un électron n'occupe des orbites que où le moment angulaire est un multiple entier de H / 2π, Où h est la constante de Planck.

Exercice résolu

Une tige en acier mince a une masse de 500 g et une longueur de 30 cm. Tourne autour d'un axe qui passe par son centre à un rythme de 300 révolutions par minute. Déterminer le module de sa quantité de mouvement angulaire.

Solution

Nous aurons besoin du moment d'inertie de la tige faisant référence à un axe qui passe par son centre. La consultation de l'élan de l'inertie est constatée que:

I = (1/12) ml² = (1/12) × 0.5 kg x (30 × 10^-2 m)² = 3.75 × 10^-3 kg.m²

Puisqu'il s'agit d'un corps étendu, que nous connaissons la vitesse angulaire, nous utilisons:

L = iΩ

Avant de transformer la vitesse angulaire ou la fréquence angulaire Ω aux rayons / s:

Ω = (300 révolutions / minute) × (1 minute / 60 secondes) x (2π radians / révolution) = 10 π rad / s

Remplacement:

L = 3.75 x10^-3 kg⋅m² × 10 π rad / s = 0.118 kg⋅m² /

Les références

1. Bauer, w. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Giambattista, un. 2010. La physique. 2e. Élégant. McGraw Hill.
3. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Chevalier, r.  2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique.  Pearson.
5. SERAY, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Élégant. Cengage Learning.
6. Tippens, P. 2011. Physique: concepts et applications. 7e édition. McGraw Hill.