Propriétés intégrales intimes, applications, calcul (exemples)

La Intégral indéfini C'est le fonctionnement inverse de la dérivation et pour le désigner, le symbole «S» allongé est utilisé: ∫. Mathématiquement l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) est écrite:

∫f (x) dx = f (x) + c

Où l'intégration f (x) = f '(x) est fonction de la variable X, qui est à son tour celui dérivé d'une autre fonction f (x), appelée intégrale ou antidérivative.

Figure 1. Indéfinie intégrale est l'un des outils les plus puissants pour la modélisation mathématique. Source: Wikimedia Commons. Wallpoper / domaine public.

À son tour, C est une constante connue sous le nom Constante d'intégration, qui accompagne toujours le résultat de toute intégrale indéfinie. Nous verrons son origine immédiatement à travers un exemple.

Supposons qu'ils nous demandent de trouver l'intégrale indéfinie suivante i:

I = ∫x.Dx

J'identifie immédiatement f '(x) avec x. Cela signifie que nous devons fournir une fonction f (x) de sorte que sa dérivée est x, quelque chose qui n'est pas difficile:

f (x) = ½ x²

Nous savons que lorsque nous dérivés f (x) nous arrivons à f '(x), nous le vérifions:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Maintenant, la fonction: f (x) = ½ x² + 2 satisfait également à l'exigence, car la dérivation est linéaire et la dérivée d'une constante est 0. D'autres fonctions qui, lorsqu'elles sont dérivées, entraînent F (x) = sont:

½ x² -1, ½ x² + quinze; ½ x² - √2…

Et en général toutes les fonctions de la forme:

f (x) = ½ x² + C

Ce sont des réponses correctes pour le problème.

L'une de ces fonctions est appelée antidérivative ou primitive de f '(x) = x et est précisément cet ensemble de tous les antidérivatifs d'une fonction connue comme une intégrale indéfinie.

Il suffit de connaître l'un des primitifs, car comme vu, la seule différence entre eux est la constante C de l'intégration.

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Si le problème contient des conditions initiales, il est possible de calculer la valeur de C pour leur s'adapter (voir l'exemple résolu plus tard).

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Comment calculer une intégrale indéfinie

Dans l'exemple précédent, ∫x a été calculé.dx parce qu'une fonction f (x) était connue que lorsqu'elle était dérivée, elle a entraîné l'intégration.

C'est pourquoi, des fonctions les plus connues et de leurs dérivés, les intégrales de base peuvent être résolues.

De plus, il existe des propriétés importantes qui élargissent la gamme de possibilités lors de la résolution d'une intégrale. Être k Un nombre réel, alors il est vrai que:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^{N + 1}/ n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x + c

Selon l'intégration, il existe plusieurs méthodes algébriques ainsi que numériques pour résoudre les intégrales. Ici, nous mentionnons:

-Changement de variable

-Substitutions algébriques et trigonométriques.

-Intégration par parties

-Décomposition en fractions simples pour intégrer le type rationnel

-Utilisation des tables

-Méthodes numériques.

Il y a des intégrales qui peuvent être résolues par plus d'une méthode. Malheureusement, il n'y a pas de critère unique pour déterminer a priori la méthode la plus efficace pour résoudre une intégrale spécifique.

En fait, certaines méthodes permettent d'atteindre la solution de certaines intégrales plus rapidement que d'autres. Mais la vérité est que pour acquérir des compétences en résolvant les intégrales, vous devez pratiquer avec chaque méthode.

- Exemple résolu

Résoudre:

Solution

Faisons un changement variable simple pour la quantité subradique:

U = x-3

Avec:

X = u + 3

Dérivant les deux côtés sur l'une ou l'autre des expressions que vous obtenez:

Dx = du

Maintenant, nous substituons dans l'intégrale, que nous dénoncerons comme I:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u^1/2 du

Peut vous servir: variable ordinale

Nous appliquons une propriété distributive et la multiplication des pouvoirs de base égale, et il est obtenu:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) Du

Pour la propriété 3 de la section précédente:

I = ∫ u^3/2 DU + ∫ 3U^1/2 du

Maintenant la propriété 4 est appliquée, qui est connue sous le nom Règle du pouvoir:

Premier intégrale

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Deuxième intégrale

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Ensuite, les résultats se réunissent:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Les deux constantes peuvent se rassembler sans problème. Enfin, nous ne devons pas oublier de renvoyer le changement de variable qui a été fait auparavant et exprimer le résultat en termes de variable d'origine x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Il est possible de prendre en compte le résultat:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Applications

Intégrale indéfinie s'applique à de nombreux modèles en sciences naturelles et sociales, par exemple:

Mouvement

Dans la solution de problèmes de mouvement, pour calculer la vitesse d'un mobile, connu son accélération et dans le calcul de la position d'un mobile, connu sa vitesse.

Économie

Lors du calcul des coûts de production et de la modélisation d'une fonction de demande, par exemple.

Exercice d'application

La vitesse minimale requise par un objet pour échapper à l'attraction gravitationnelle terrestre est donnée par:

Dans cette expression:

-v est la vitesse de l'objet qui veut échapper à la terre

-Et c'est la distance mesurée du centre de la planète

-M est la masse de la Terre

-G est une gravitation constante

Peut vous servir: distribution normale: formule, caractéristiques, exemple, exercice

Il est demandé de trouver la relation entre V et et, Résolution des intégrales indéfinies, si l'objet est conféré une vitesse initiale V_soit Et le rayon de la terre est connu et est appelé r.

Figure 2.- Un soyuz satellite artificiel. Si trop de vitesse est fournie, elle échappera à la gravité de la terre, la vitesse minimale pour que cela se produise est appelée vitesse d'échappement. Source: Wikimedia Commons.

Solution

On nous présente deux intégrales indéfinies à résoudre grâce aux règles d'intégration:

Toi₁ = ∫v dv = v²/ 2 + c₁

Toi₂ = -Gm ∫ (1 / y²) dy = -gm ∫ et^-2 dy = -gm [et^{-2 + 1}/ (- 2 + 1)] + c₂ = GM. et^-1 + C₂

Nous égaux i₁ et moi₂:

V²/ 2 + c₁ = GM. et^-1 + C₂

Les deux constantes peuvent se rassembler en un:

Une fois les intégrales résolues, nous appliquons les conditions initiales, qui sont les suivantes: lorsque l'objet est à la surface de la Terre, il est à une distance R du centre du même. Dans la déclaration, ils nous disent que c'est la distance mesurée du centre de la terre.

Et être à la surface, c'est que la vitesse initiale est fournie avec laquelle il échappera à l'attraction gravitationnelle de la planète. Par conséquent, nous pouvons établir que V (R) = V_soit. Dans ce cas, rien ne nous empêche de remplacer cette condition dans le résultat que nous venons d'obtenir:

Et depuis V_soit Il est connu, tout comme G, M et R, nous pouvons effacer la valeur de la constante d'intégration C:

Que nous pouvons remplacer dans le résultat des intégrales:

Et enfin nous effacer V², prise en compte et regroupement correctement:

C'est l'expression qui relie la vitesse V d'un satellite qui a tiré de la surface de la planète (Radius R) avec une rapidité initiale vo, Quand c'est à distance et du centre de la planète.

Les références

1. Haeussler, e. 1992. Mathématiques pour l'administration et l'économie. Groupe éditorial IberoAmerica.
2. Hyperphysique. Vitesse d'échappement. Récupéré de: hthyperphysics.Phy-asch.GSU.Édu.
3. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Calcul avec géométrie analytique. 9na. Édition. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Exemple d'intégrales. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com.