Formules d'induction magnétique, comment elle est calculée et exemples

La induction magnétique ou la densité de flux magnétique est une altération de l'environnement causé par la présence de courants électriques. Ils modifient la nature de l'espace environnant, créant un Campagne Vecteur.

Le vecteur Induction magnétique, densité de flux magnétique ou simplement champ magnétique B, Il a trois caractéristiques distinctives: une intensité exprimée par une valeur numérique, une adresse et aussi un sens donné à chaque point de l'espace. Il est mis en évidence en gras pour le distinguer des quantités purement numériques ou scalaires.

Règle du pouce droit pour déterminer la direction et la direction du vecteur d'induction magnétique. Source: JFMelero [CC BY-SA 4.0 (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 4.0)]

La règle du pouce droit est utilisée pour trouver la direction et la direction du champ magnétique originaires d'un fil qui transporte le courant, comme indiqué sur la figure ci-dessus.

Le pouce de la main droite devrait pointer dans le sens du courant. Alors le tour des doigts restants indique la forme de B, que dans la figure est représenté par les cercles concentriques de rouge.

Dans ce cas, l'adresse de B Il est tangentiel à la circonférence concentrique avec le fil et le sens est contraire aux mains de l'horloge.

La induction magnétique B Dans le système international, Tesla (T) est mesurée, mais il est plus courant de le mesurer dans une autre unité appelée Gauss (G). Les deux unités ont été nommées respectivement en l'honneur de Nikola Tesla (1856-1943) et de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pour leurs contributions extraordinaires à la science de l'électricité et du magnétisme.

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Quelles sont les propriétés de l'induction magnétique ou de la densité de flux magnétique?

Une boussole qui est placée près du fil avec le courant, s'alignera toujours avec B. Le physicien danois Hans Christian Oersted (1777-1851) a été le premier à réaliser ce phénomène au début du 19e siècle.

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Et lorsque le courant cesse, la boussole pointe vers le nord géographique, comme toujours. En modifiant soigneusement la position de la boussole, une carte est obtenue à partir de la forme du champ magnétique.

Cette carte a toujours la forme de cercles concentriques au fil, comme décrit au début. De cette façon, il peut être visualisé B.

Même si le fil n'est pas droit, le vecteur B Formera des cercles concentriques autour. Pour déterminer la forme du champ, il suffit d'imaginer de très petits segments de fil, si petits qu'ils semblent rectilignes et entourés de circonférences concentriques.

Lignes de champ magnétiques produites par une boucle de fil qui transporte le courant. Source: Pixabay.com

Cela indique une propriété importante des lignes de champ magnétique B: Ils manquent de principe ou de fin, ce sont toujours des courbes fermées.

La loi biot-araveute

Le XIXe siècle a déterminé le début de l'ère de l'électricité et du magnétisme en science. Vers l'année 1820, les physiciens français Jean Marie Biot (1774-1862) et Felix Savart (1791-1841) ont découvert la loi qui porte son nom et qui permet de calculer le vecteur B.

Ils ont fait les observations suivantes sur la contribution au champ magnétique produit par un segment de fil de longueur différentielle dl qui transporte un courant électrique Toi:

• L'ampleur de B diminue avec l'inverse au carré de la distance au fil (cela a du sens: loin du fil, l'intensité de B Ça doit être inférieur à des points à proximité).
• L'ampleur de B Il est proportionnel à l'intensité du courant Toi qui voyage sur le fil.
• L'adresse de B Il est tangentiel à la circonférence radio r centré sur le fil et la direction de B Il est donné, comme nous l'avons dit, par la règle du pouce droit.

Le produit transversal vectoriel est l'outil mathématique approprié pour exprimer le dernier point. Pour établir un produit vectoriel, deux vecteurs sont nécessaires, qui sont définis comme suit:

• dl C'est le vecteur dont l'ampleur est la longueur du segment différentiel dl
• r C'est le vecteur qui passe du fil au point où vous voulez trouver le champ

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Formules

Tout cela peut être combiné dans une expression mathématique:

La proportionnalité constante nécessaire pour établir l'égalité est Perméabilité magnétique de l'espace libre μ_soit  = 4π.dix^-7 T.M / A

Cette expression est la loi de Biot et Savart, qui vous permet de calculer le champ magnétique d'un segment actuel.

Un tel segment doit à son tour faire partie d'un circuit de plus en plus grand: une distribution de courant.

La condition que le circuit est fermé est nécessaire pour qu'un courant électrique s'écoule. Le courant électrique ne peut pas circuler en circuits ouverts.

Enfin, pour trouver le champ magnétique total de cette distribution de courant, toutes les contributions de chaque segment différentiel sont ajoutées dl. Cela équivaut à intégrer toute la distribution:

Pour appliquer la loi sur le biot-étiné et calculer le vecteur d'induction magnétique, il est nécessaire de considérer des points importants très importants:

• Le produit vectoriel entre deux vecteurs se traduit toujours par un autre vecteur.
• L'amplitude du produit vectoriel dans la loi biot-économique est:où θ est l'angle entre dl et r.
• Le produit vectoriel doit être trouvé avant Si la résolution intégrale est résolue, alors l'intégrale de chacun des composants obtenus séparément est résolu.
• Il est nécessaire de dessiner la situation et d'établir un système de coordonnées adéquate.
• Chaque fois que l'existence d'une certaine symétrie est observée, elle doit être utilisée pour gagner du temps de calcul.
• Lorsqu'il y a des triangles, le théorème de Pythagore et le théorème du cosinus sont d'une grande aide pour établir la relation géométrique entre les variables.

Comment est-il calculé?

Avec un exemple pratique du calcul de B Pour le fil rectiligne, ces recommandations sont appliquées.

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Exemple

Calculez le vecteur de champ magnétique qu'un très long fil rectiligne produit à un point p de l'espace, selon la figure illustrée.

Géométrie nécessaire pour calculer le champ magnétique au point P, d'un fil à courant infiniment long. Source: auto-faite.

De la figure que vous avez à:

• Le fil est dirigé verticalement, avec le courant i coulant vers le haut. Cette adresse est + et dans le système de coordonnées, dont l'origine est au point ou.
• θ est l'angle entre dl et r Et il est également vrai que: 
• Dans ce cas, selon la règle du pouce droit, B Au point P est dirigé dans le papier, il est donc indiqué avec un petit cercle et un "x" sur la figure. Cette adresse sera prise comme -z.
• Le triangle droit dont les jambes sont et et R, Relate les deux variables selon le théorème de Pythagore: r²= R²+et²

Tout cela est remplacé dans l'intégrale. Le vecteur ou le produit transversal est indiqué par sa direction plus et sa signification: sa signification:

L'intégrale proposé est recherchée dans une table intégrale ou est résolue par une substitution trigonométrique appropriée (le lecteur peut vérifier le résultat en utilisant y = rtg θ):

Le résultat est d'accord avec l'attendu: l'ampleur du champ diminue avec la distance R et augmente proportionnellement à l'intensité du courant i.

Alors qu'un fil infiniment long est une idéalisation, l'expression obtenue est une très bonne approche du champ d'un long fil.

Avec la loi Biot et Savart, il est possible de trouver le champ magnétique d'autres distributions de haute symétrie, comme une spirale circulaire qui transporte le courant ou les fils pliés combinant des segments rectilignes et curvilignes.

Bien sûr, pour analyser l'intégrale, le problème doit avoir un degré élevé de symétrie. Sinon l'alternative résout numériquement l'intégrale.

Les références

1. SERAY, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. 2ieme volume. Mexique. Cengage Learning Editors. 367-372.