Homotecia

La Homotecia Il s'agit d'un changement géométrique dans le plan où, à partir d'un point fixe appelé centre (o), les distances sont multipliées par un facteur commun. De cette façon, chaque point P correspond à un autre point de la transformation, et ceux-ci sont alignés avec le point ou.

Ensuite, l'homotécia est une correspondance entre deux figures géométriques, où les points transformés sont appelés homothétiques, et ceux-ci sont alignés avec un point fixe et avec des segments parallèles les uns avec les autres.

Explication et formule

L'homotécia est une transformation qui n'a pas d'image congruente, car à partir d'un chiffre, ils obtiendront une ou plusieurs figures de taille supérieure ou moindre que la figure d'origine; c'est-à-dire que l'homotécia transforme un polygone en un autre similaire.

Pour que l'homotécia soit remplie, le point à point et la ligne droite doivent correspondre, de sorte que les couples de points homologues sont alignés avec un troisième point fixe, qui est le centre de l'homotecia.

De même, les paires de lignes qui s'unissent devraient être parallèles. La relation entre ces segments est une raison constante appelée homotecia (k) la raison; De telle manière que l'homotécia peut être définie comme:

Pour faire ce type de transformation, un point arbitraire commence, qui sera le centre de l'homotécia.

À partir de ce point, les segments de ligne sont dessinés pour chaque sommet de la figure à transformer. L'échelle sur laquelle la reproduction de la nouvelle figure est faite est donnée pour la raison de l'homotécia (k).

Propriétés d'homotecia

L'une des principales propriétés de l'homotécia est que, pour la raison de l'homotécia (K), toutes les figures homothétiques sont similaires. Parmi les autres propriétés exceptionnelles sont les suivantes:

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- Le centre d'homotecia (O) est le seul double point et il se transforme; c'est-à-dire qu'il ne varie pas.

- Les lignes qui traversent le centre deviennent elles-mêmes (elles sont doubles), mais les points qui le composent ne sont pas doubles.

- Les lignes qui ne traversent pas le centre sont transformées en lignes parallèles; De cette façon, les angles d'homotecia restent égaux.

- L'image d'un segment par une homotecia centrale ou et la raison K, est un segment parallèle à elle et a k fois sa longueur. Par exemple, comme on le voit dans l'image suivante, un segment AB pour l'homotecia sera un autre segment A'B ', de sorte que AB sera parallèle à A'B' et le K sera:

- Les angles homotétiques sont congruents; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Par conséquent, l'image d'un angle est un angle qui a la même amplitude.

D'un autre côté, l'homotécia doit être variée en fonction de la valeur de sa raison (k), et les cas suivants peuvent se produire:

- Si la constante k = 1, tous les points sont fixes car ils se transforment. Ainsi, la figure homothétique coïncide avec l'original et la transformation sera appelée fonction d'identité.

- Si k ≠ 1, le seul point fixe sera le centre de l'homotécia (O).

- Si k = -1, l'homotécia devient une symétrie centrale (c); C'est-à-dire qu'une rotation se produira autour de C, à un angle de 180^soit.

- Si k> 1, la taille de la figure transformée sera plus grande à la taille de l'original.

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- Oui 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Oui -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Oui k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Types d'homotécia

L'homotécia pourrait également être classée en deux types, selon la valeur de sa raison (k):

Homotecia directe

Se produit si la constante k> 0; C'est-à-dire que les points homotétiques sont du même côté par rapport au centre:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similitude entre les chiffres homothétiques directs sera toujours positif.

Homotecia inverse

Se produit si la constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similitude entre les chiffres homothétiques inverses sera toujours négatif.

Composition

Lorsque plusieurs mouvements sont effectués successivement jusqu'à une figure égale à l'original, une composition de mouvements se produit. La composition de plusieurs mouvements est également un mouvement.

La composition entre deux homotécies entraîne une nouvelle homotecia; C'est-à-dire qu'il existe un produit d'homotecia dans lequel le centre sera aligné sur le centre des deux transformations originales, et la raison (k) est le produit des deux raisons.

Ainsi, dans la composition de deux homoties h₁(SOIT₁, k₁) et h₂(SOIT₂, k₂), La multiplication de vos raisons: k₁ x k₂ = 1 se traduira par une homotécia de la raison k₃ = K₁ x k₂. Le centre de cette nouvelle homotécia (ou₃) sera situé sur la ligne ou₁ SOIT₂.

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L'homotécia correspond à un changement plat et irréversible; Si deux homoteciens s'appliquent qui ont le même centre et la même raison, mais avec un signe différent, le chiffre d'origine sera obtenu.

Exemples d'homotecia

1. Premier exemple

Appliquer une homotécia au polygone donné du centre (O), situé à 5 cm du point A et dont la raison est k = 0,7.

Solution

Tout point est choisi comme centre de l'homotecia, et à partir de cela, ils sont échangés par les sommets de la figure:

La distance entre le centre (O) au point A est OA = 5; Avec cela, vous pouvez déterminer la distance de l'un des points homotétiques (OA ') sachant également que k = 0,7:

Oa '= k x oa.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Le processus peut être effectué pour chaque sommet, ou vous pouvez également dessiner le polygone homothétique en rappelant que les deux polygones ont des côtés parallèles:

Enfin, la transformation est considérée comme suit:

2. Deuxième exemple

Appliquer une homotécia au polygone donné du centre (O), situé à 8,5 cm du point C et dont et la raison k = -2.

Solution

La distance entre le centre (O) au point C est OC = 8,5; Avec ces données, il est possible de déterminer la distance de l'un des points homotétiques (OC '), sachant également que k = -2:

OC '= K x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Après avoir dessiné les segments des sommets du polygone transformé, les points initiaux et leur homotétique sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre: