Degré de polynôme comment il est déterminé, exemples et exercices

Il degré de polynôme dans ongle la variable est donnée par le terme que le principal exposant a, et si le polynôme a deux variables ou plus, Alors le degré est déterminé par la somme des exposants de chaque terme, la somme majeure du polynôme étant.

Voyons comment déterminer le degré de polynôme de manière pratique.

Figure 1. La célèbre équation d'Einstein pour l'énergie E est un monomial absolu de grade 1 pour la variable de masse, indiquée par m, car la vitesse de la lumière C est considérée comme constante. Source: piqsels.

Supposons le polynôme P (x) = -5x + 8x³ + 7 - 4x². Ce polynôme est d'une variable, dans ce cas, c'est la variable X. Ce polynôme se compose de plusieurs termes, qui sont les suivants:

-5x; 8x³; 7; - 4x²

 Sélectionnons parmi les quatre termes dont l'exposant est plus grand, ce terme est:

8x³

Et maintenant qu'est-ce que l'exposant? La réponse est 3. Par conséquent, P (x) est un polynôme de grade 3.

Si le polynôme en question a plus d'une variable, le degré peut être:

-Absolu

-Par rapport à une variable

Le degré absolu est expliqué au début: ajouter les exposants de chaque terme et sélectionner le plus grand.

D'un autre côté, le degré de polynôme en ce qui concerne l'une des variables ou des lettres, est la plus grande valeur de l'exposant qui a dit la lettre. Le point sera plus clair avec les exemples et les exercices résolus à partir des sections suivantes.

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Exemples de grade de polynôme

Les polynômes peuvent être classés par le diplôme, pouvoir être de premier degré, de deuxième année, de troisième année et ainsi de suite. Pour l'exemple de la figure 1, l'énergie est un monomial de premier degré pour la masse.

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Il est également important d'observer que le nombre de termes d'un polynôme est égal à la degré plus 1. Donc:

-Les polynômes au premier degré ont 2 termes: A₁x + a_soit

-Le deuxième polynôme de degré a 3 termes: un₂X² + pour₁x + a_soit

-Un polynôme du troisième degré a 4 termes: un₃X³ + pour₂X² + pour₁x + a_soit

Et ainsi de suite. Le lecteur attentif aura observé que les polynômes des exemples précédents sont écrits de manière décroissante, c'est-à-dire en plaçant d'abord le terme avec le degré majeur.

Divers polynômes apparaissent dans le tableau suivant, à la fois à partir d'une et de plusieurs variables et de leurs degrés absolus respectifs:

Tableau 1. Exemples de polynômes et de leurs diplômes

Polynôme	degré
3x4+5x3-2x + 3	4
7x3-2x2+3x-6	3
6	0
X-1	1
X5-bx4+Abx3+UN B3X2	6
3x3et5 + 5x2et4 - 7xy2 + 6	8

Les deux derniers polynômes ont plus d'une variable. Le terme qui a le plus grand diplôme absolu s'est démarqué en gras, afin que le lecteur vérifie rapidement le diplôme. Important de se rappeler que lorsque la variable n'a pas d'exposant écrit, il est entendu que cet exposant est égal à 1.

Par exemple dans le terme proéminent UN B³X² Il y a trois variables, à savoir: pour, b et X. Dans ce terme, pour Il est élevé à 1, c'est-à-dire:

a = a¹

Donc UN B³X² = A¹b³X²

Étant donné que l'exposant de B est 3 et celui de x est 2, il est immédiatement suivi que le degré de ce terme est:

1 + 3 + 2 = 6

Et c'est le degré absolu de polynôme, car aucun autre des termes n'a un plus grand degré.

Procédure pour travailler avec les polynômes

Lorsque vous travaillez avec des polynômes, il est important de prêter attention au degré de même, car en premier lieu et avant d'effectuer une opération, il est pratique de suivre ces étapes, auquel le degré fournit des informations très importantes:

-Ordonner le polynôme de préférence dans un sens décroissant. De cette façon, le terme avec le plus haut niveau est à gauche et celui avec le plus bas à droite.

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-Réduire les termes similaires, une procédure qui consiste à ajouter tous les termes de variable égale et de degré qui sont dans l'expression algébriquement.

-Si nécessaire, les polynômes sont terminés, les termes entrecoupés dont le coefficient est 0, en cas de termes avec certains exposants.

Commander, réduire et compléter un polynôme

Étant donné le polynôme p (x) = 6x² - 5x⁴- 2x + 3x + 7 + 2x⁵  - 3x³ + X⁷ -12 Il est demandé de le commander de manière décroissante, de réduire les termes similaires en cas de choses et de compléter les termes qui manquent d'être précis.

La première chose à rechercher est le terme avec l'exposant majeur, qui est le degré de polynôme, qui s'avère être:

X⁷

Par conséquent, P (x) est de 7e année. Ensuite, le polynôme est ordonné, en commençant par ce terme à gauche:

P (x) = x⁷ + 2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² - 2x + 3x + 7 -12

Les termes similaires sont maintenant réduits, qui sont les suivants: - 2x et 3x d'une part. Et 7 et -12 sur l'autre. Pour les réduire, les coefficients sont ajoutés algébriquement et la variable est restée inchangée (si la variable n'apparaît pas à côté du coefficient, il faut se rappeler que x⁰ = 1):

-2x + 3x = x

7 -12 = -5

Ces résultats sont remplacés en p (x):

P (x) = x⁷ +2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² + x -5

Et enfin, le polynôme est examiné pour voir si un exposant est manquant et en effet, un terme dont l'exposant est manquant, il est donc achevé avec des zéros comme celui-ci:

P (x) = x⁷ + 0x⁶ +2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² + X - 5

Maintenant, il est observé que le polynôme a été laissé avec 8 termes, car comme indiqué précédemment, le nombre de termes est égal au degré + 1.

Importance du degré de polynôme dans la somme et la soustraction

Avec des polynômes, des opérations de somme et de soustraction peuvent être effectuées, dans lesquelles seuls des termes similaires sont ajoutés ou soustraits, qui sont la même variable et le même degré. S'il n'y a pas de termes similaires, la somme ou la soustraction est laissée simplement indiquée.

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Une fois que la somme ou la soustraction a été effectuée, ce dernier étant la somme de l'inverse, le degré du polynôme résultant est toujours égal ou inférieur au degré de l'ajout polynomial de plus grand degré.

Exercices résolus

- Exercice résolu 1

Trouvez la somme suivante et déterminez son degré absolu:

pour³- 8ax²  + X³ + 5e²X - 6ax² - X³ + 3e³ - 5e²x - x³ + pour³+ 14ax² - X³

Solution

Il s'agit d'un polynôme de deux variables, il est donc pratique de réduire les termes similaires:

pour³- 8ax²  + X³ + 5e²X - 6ax² - X³ + 3e³ - 5e²x - x³ + pour³+ 14ax² - X³ =

= A³ + 3e³ + pour³ - 8ax² - 6ax²+ 14ax² +5e²X - 5A²x + x³- X³- X³- X³ =

= 5A³ - 2x³

Les deux termes sont en 3e année dans chaque variable. Par conséquent, le degré absolu de polynôme est 3.

- Exercice résolu 2

Exprime comme polynôme La zone de la figure géométrique plate suivante (figure 2 à gauche). Quel est le degré de polynôme qui en résulte?

Figure 2. À gauche, le chiffre de l'année a résolu 2 et à droite, la même figure décomposée dans trois domaines dont l'expression est connue. Source: F. Zapata.

Solution

Étant une zone, le polynôme résultant doit être de grade 2 en variable x. Pour déterminer une expression adéquate pour la zone, la figure est décomposée en zones connues:

La zone d'un rectangle et d'un triangle sont respectivement: Base x hauteur et Base x hauteur / 2

POUR₁ = x . 3x = 3x²; POUR₂ = 5 . x = 5x; POUR₃ = 5 . (2x / 2) = 5x

Note: La base du triangle est de 3x - x = 2x et sa hauteur est 5.

Maintenant, les trois expressions obtenues sont ajoutées, avec cela, vous avez la zone du chiffre en fonction de X:

3x² + 5x + 5x = 3x² + 10x

Les références

1. Baldor, un. 1974. Algèbre élémentaire. Culturel vénézuélien.POUR.
2. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
3. Wikilibros. Polynômes. Récupéré de: est. Wikibooks.org.
4. Wikipédia. Grade (polynôme). Récupéré de: est.Wikipédia.org.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. Mac Graw Hill.