Fonction injective de quoi elle consiste, à quoi sert-elle et des exemples

Ongle Fonction d'injectif C'est toute relation d'éléments de domaine avec un seul élément de codominium. Également connu sous le nom de fonction un à un ( onze ), font partie de la classification des fonctions concernant la manière dont leurs éléments sont liés.

Un élément de codominium ne peut être qu'une image d'un seul élément du domaine, de cette manière les valeurs de la variable dépendante ne peuvent pas être répétées.

Source: auteur.

Un exemple clair serait de regrouper les hommes avec un travail dans un groupe A, et dans un groupe B à tous les boss. La fonction F Ce sera celui qui associe chaque travailleur à son patron. Si chaque travailleur est associé à un autre boss à travers F, ensuite F  Ce sera un Fonction d'injectif.

À envisager Injectif Les éléments suivants doivent être remplis à une fonction:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

C'est la façon algébrique de dire Pour tous les x₁ différent de x₂ Vous avez un f (x₁ ) Différent de f (x₂ ).

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Quelles sont les fonctions d'injectif pour?

L'injectivité est une propriété de fonctions continues, car elles garantissent l'allocation d'images pour chaque élément de domaine, aspect essentiel de la continuité d'une fonction.

Lorsque vous tracez une ligne parallèle à l'axe X Sur le graphique d'une fonction injective, seul le graphique doit être touché en un seul point, quelle que soit la hauteur ou l'ampleur de ET La ligne est tracée. C'est la façon graphique de prouver l'injectivité d'une fonction.

Une autre façon de tester si une fonction est Injectif, Effacer la variable indépendante X En termes de variable dépendante ET. Il faut alors vérifier si le domaine de cette nouvelle expression contient les nombres réels, en même temps que pour chaque valeur de ET il y a une seule valeur de X.

Les fonctions de commande ou les relations obéissent, entre autres, la notation F: D_F→C_F

Qui lit F qui va de d_F à C_F

Où la fonction F Reliez les ensembles Domaine et Codominium. Également connu sous le nom de jeu de départ et d'ensemble d'arrivée.

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Le nom de domaine D_F  Contient les valeurs autorisées pour la variable indépendante. Le codominium C_F  Il est formé par toutes les valeurs disponibles à la variable dépendante. Les éléments de C_F relatif à D_F  Ils savent comment Plage de fonctions (R_F ).

Conditionnement des fonctions

Parfois, une fonction qui n'est pas injective peut subir un certain conditionnement. Ces nouvelles conditions peuvent le transformer en un Fonction d'injectif. Toutes sortes de modifications du domaine et de la codominium de la fonction sont valides, où l'objectif est de répondre aux propriétés d'injectivité dans la relation correspondante.

Exemples de fonctions d'injectif avec des exercices résolus

Exemple 1

Être la fonction F: R → R défini par la ligne F (x) = 2x - 3

A: [Tous les nombres réels]

Source: auteur.

Il est observé que pour toute valeur de domaine, il y a une image dans la codominium. Cette image est unique, ce qui fait de F une fonction injective. Cela s'applique à toutes les fonctions linéaires (fonctions dont le plus grand degré de variable est un).

Source: auteur.

Exemple 2

Être la fonction F: R → R Défini par F (x) = x² +1

Source: auteur

Lors du dessin d'une ligne horizontale, il est observé que le graphique se trouve à plusieurs reprises. À cause de cela la fonction F n'est pas injectif en défini  R → R

Le domaine de la fonction est conditionné:

                                               F: R⁺ OU 0 → R

Source: auteur

Maintenant, la variable indépendante ne prend pas de valeurs négatives, de cette manière, elle est évitée pour répéter les résultats et la fonction F: R⁺ OU 0 → R Défini par F (x) = x² + 1 est injectif.

Une autre solution homologue serait de limiter le domaine à gauche, c'est-à-dire limiter la fonction pour ne prendre que des valeurs négatives et nulles.

Le domaine de la fonction est conditionné

                                               F: R^- OU 0 → R

Source: auteur

Maintenant, la variable indépendante ne prend pas de valeurs négatives, de cette manière, elle est évitée pour répéter les résultats et la fonction F: R^- OU 0 → R Défini par F (x) = x² + 1 est injectif.

Les fonctions trigonométriques ont des comportements similaires aux vagues, où il est très courant de trouver des répétitions de valeurs dans la variable dépendante. Grâce à un conditionnement spécifique, en fonction de la connaissance préalable de ces fonctions, nous pouvons limiter le domaine pour remplir les conditions d'injectivité.

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Exemple 3

Être la fonction F: [ -π / 2, π / 2 ] → R Défini par F (x) = cos (x)

Dans l'intervalle [ -π / 2 → π / 2 ]] La fonction cosinus varie ses résultats entre zéro et un.

Source: auteur.

Comme on peut le voir dans les graphiques. Commencer à zéro dans x = -π / 2 en atteignant un maximum de zéro. C'est après x = 0 que les valeurs commencent à se répéter, jusqu'à retourner à zéro x = π / 2. De cette façon, on sait que F (x) = cos (x) n'est pas injectif Pour l'intervalle [ -π / 2, π / 2 ]] .

Lorsque vous étudiez les graphiques de fonction F (x) = cos (x) Des intervalles sont observés où le comportement de la courbe s'adapte aux critères d'injectivité. Comme l'intervalle

[0 , π ]]

Où la fonction varie des résultats de 1 à -1, sans répéter aucune valeur dans la variable dépendante.

De cette façon, la fonction de fonction F: [0 , π ] → R Défini par F (x) = cos (x). C'est injectif

Il existe des fonctions non linéaires où des cas similaires sont présentés. Pour les expressions rationnelles, où le dénominateur abrite au moins une variable, il y a des restrictions qui empêchent l'injectivité de la relation.

Exemple 4

Être la fonction F: R → R Défini par F (x) = 10 / x

La fonction est définie pour tous les nombres réels sauf 0 qui présente une indétermination (elle ne peut pas être divisée entre zéro).

Lorsque vous approchez zéro sur la gauche, la variable dépendante prend de très grandes valeurs négatives, et immédiatement après zéro, les valeurs de la variable dépendante prennent de grandes chiffres positifs.

Cette perturbation fait l'expression F: R → R Défini par F (x) = 10 / x

Ne soyez pas injectif.

Comme le montre les exemples précédents, l'exclusion des valeurs dans le domaine sert à "réparer" ces indéterminations. Zero est exclu du domaine, laissant l'ensemble et les ensembles d'arrivée définis comme suit:

R - 0 → R

Où R - 0 symbolise le réel à l'exception d'un ensemble dont le seul élément est zéro.

De cette façon l'expression F: r - 0 → R Défini par F (x) = 10 / x est injectif.

 Exemple 5

Être la fonction F: [0 , π ] → R Défini par F (x) = sin (x)

Dans l'intervalle [0 , π ]] La fonction des sinus varie ses résultats entre zéro et un.

Peut vous servir: variable aléatoire: concept, types, exemplesSource: auteur.

Comme on peut le voir dans les graphiques. Commencer à zéro dans x = 0 puis atteignant un maximum dans x = π / 2. C'est après x = π / 2 que les valeurs commencent à être répétées, jusqu'à ce que le retour à zéro x = π. De cette façon, on sait que F (x) = sin (x) n'est pas injectif Pour l'intervalle [0 , π ]] .

Lorsque vous étudiez les graphiques de fonction F (x) = sin (x) Des intervalles sont observés où le comportement de la courbe s'adapte aux critères d'injectivité. Comme l'intervalle  [  π / 2,3π / 2  ]]

Où la fonction varie des résultats de 1 à -1, sans répéter aucune valeur dans la variable dépendante.

De cette façon la fonction F: [  π / 2,3π / 2  ] → R Défini par F (x) = sin (x). C'est injectif

Exemple 6

Vérifiez si la fonction F: [0, ∞) → R Défini par F (x) = 3x² C'est injectif.

À cette occasion, le domaine de l'expression est déjà limité. Il est également observé que les valeurs variables dépendantes ne sont pas répétées dans cet intervalle.

Par conséquent, on peut conclure que F: [0, ∞) → R Défini par F (x) = 3x²   C'est injectif

Exemple 7

Identifier les fonctions suivantes

Source: auteur

1. C'est injectif. Les éléments associés du codominium sont uniques pour chaque valeur de la variable indépendante.
2. Ce n'est pas injectif. Il y a des éléments du CO-Ooominium associés à plus d'un élément de l'ensemble de départ.
3. C'est injectif
4. Ce n'est pas injectif

Exercices proposés pour la classe / la maison

Vérifiez si les fonctions suivantes sont injectives:

F: [0, ∞) → R Défini par F (x) = (x + 3)²  

F: [ π / 2,3π / 2  ] → R Défini par F (x) = tan (x)

F: [ -π,π  ] → R Défini par F (x) = cos (x + 1)

F: R → R défini par la ligne F (x) = 7x + 2

Les références

1. Introduction à la logique et à la pensée critique. Merrilee H. Saumon. Université de Pittsburgh
2. Problèmes d'analyse mathématique. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pôle.
3. Éléments de l'analyse abstraite. Mícheál o'searcoïd doctorat. Département des mathématiques. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Principes d'analyse mathématique. Enrique Linés Escardó. Reverté éditorial. Jusqu'en 1991. Barcelone Espagne.