Caractéristiques de la fonction échelonnée, exemples, exercices

La fonction échelonnée y = s (x) est une fonction définie en morceaux ou en parties, de sorte que dans un intervalle fini [a, b], il a un nombre fini de discontinuités, que nous appellerons x₀ < x₁ < x₂ <… . x_n.  Dans chaque intervalle ouvert (x_Toi , X_{i + 1}), et a une valeur constante de valeur s_Toi, Avec discontinuities -saltos- aux points x_Toi.

Le graphique qui résulte d'une fonction comme celle-ci se compose d'étapes ou d'étapes. Regardons un exemple ci-dessous:

Figure 1. Exemple de fonction échelonnée. Source: Wikimedia Commons.

Le graphique de cette fonction étanche a trois étapes ou des intervalles décalés, mais en général, la fonction échelonnée peut avoir n'importe quelle quantité d'étapes. La largeur des étapes peut être différente et l'escalier ne monte pas toujours ou ne descend pas.

La fonction échelonnée de l'exemple peut être écrite spécifiant la largeur et le haut de chaque étape, comme ceci:

[TOC]

Caractéristiques de la fonction étanche

-La fonction reçoit son nom par le graphique sous la forme d'étapes, donnée par les segments qui le composent. Chaque segment a une partie du domaine de la fonction et dans chacun, la fonction est constante.

-Le domaine d'une fonction échelonnée est les valeurs qui appartiennent à l'intervalle pour lequel il est défini: [a, b], tandis que la plage est constituée par les valeurs s_Toi des hauteurs des étapes.

Dans l'exemple de la figure 1, le domaine est l'intervalle [-3,3] et la plage est les valeurs -1, 1 et 2.

-La fonction échelonnée est continue sauf dans les valeurs qui délimitent à chaque étape, les points x_Toi.

-Les fonctions Escalonada peuvent être ajoutées et multipliées pour donner naissance à de nouvelles fonctions étanchées.

-Sa dérivée est 0 pour les points où il est défini, car en eux la fonction est constante. Pour sa part, le dérivé n'existe pas dans les discontinuités.

-L'intégrale de la fonction étanche s (x) entre pour et b Il existe et correspond à la somme des zones des rectangles de la largeur x_Toi- X_I-1 et hauteur s_k, égal à l'étape.

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Comme la zone d'un rectangle est le produit de la base par hauteur, nous devons:

Exemples de fonctions échelonnées

Dans les fonctions échelonnées, il existe plusieurs types, par exemple les fonctions de entier et la fonction Pas unitaire, ainsi que diverses fonctions échelonnées qui décrivent des situations communes, telles que les taux de nombreux services. Regardons quelques exemples:

- Exemple 1: toutes les parties

La fonction entière de la pièce utilise fréquemment le double support:

f (x) = [[x]]

Et il est défini comme une fonction qui attribue à chaque numéro réel le entier le plus proche ou le plus petit, ignorant toute décimale qui a le nombre. Comme le cas peut être le cas, nous avons:

Fonction du toit ou du ciel

Attribue à chaque valeur de domaine l'intégralité le plus proche par excès. Par exemple:

[[+2.56]] = 3

La partie décimale qui est 0 est ignorée.56 et l'entier le plus proche est attribué qui est supérieur à 2.

Autre exemple:

[[-4.2]]= -3

Encore une fois, la décimale partie 0 est omise.2 et le plus grand entier plus grand plus près de -4 est considéré comme une valeur de la fonction, qui est -3.

Dans la figure suivante est le graphique de la fonction de plafond, notez que l'étape est délimitée par un petit cercle creux à gauche et un plein à droite, car n'importe quel nombre d'intervalle, le plus grand entier est attribué entre les extrémités entre les se termine entre les extrémités de l'intervalle.

Figure 2. La fonction toit ou ciel. Source: Wikimedia Commons.

Par exemple, toutes les valeurs entre 3 et 4 sont attribuées le 4 entier, qui se trouvent entre -2 et -1 sont attribués le -1 et ainsi.

Fonction du sol ou du sol

Attribue à chaque valeur de domaine le nombre entier le plus proche par défaut. Des exemples de cette fonction sont:

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[[+3.7]] = 3

[[-1.5]] = -2

[[π]] = 3

Les deux fonctions sont continues à l'exception des nombres entiers, où les sauts sont présentés, et il est constant pour les valeurs entre les entiers K et K + 1.

figure 3. Fonction du sol ou du sol. Source: Larson, R. Calcul d'une variable.

- Exemple 2

Dans une ville, le taux de taxi est 3.65 $, pour les 100 premiers m. Et pour tous les 100 m sont 0.18 $, étant la limite par itinéraire de 50 km.

Il est souhaité d'établir la fonction qui relie l'itinéraire en mètres avec le coût du service par $, qui doit avoir cette forme:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x / 100]] $

Où la fonction entière de la pièce peut être de la fonction Sky, à laquelle le taux de base qui est 3 est ajouté.65 $. Par exemple, si nous voulons savoir combien il sera payé pour un voyage de 6.25 km = 6250 m, nous aurons:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x / 100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11.25]] $ = 15.65 $

Si la société de taxis choisit une fonction de plancher, le client paierait un peu moins pour le voyage:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x / 100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11.25]] $ = 14.65 $

Exercices résolus

- Exercice 1

Les appels longue distance entre les villes A et B coûtent 0.40 $ 10 $. Après cette période, la fraction ou la minute supplémentaire vaut 0.05 $.

Exprimer le coût C (t) d'un appel qui dure un certain nombre de minutes.

Solution

Nous pouvons exprimer cette fonction si nous analysons ce qui se passe avec chaque option pour la durée d'un appel:

Pour t ≤ 10 minutes

Lorsque t, qui est le moment où l'appel dure, est inférieur ou égal à 10 minutes, est payé 0.40 $.

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Donc:

f (t) = 0.40 $ pour t inclus entre 0 et 10 minutes.

Nous avons déjà une partie de la fonction.

Pour T> 10 minutes

Cas entéro

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque le temps de t = 10 minutes est dépassé: il peut arriver que l'excès soit un entier, par exemple que la conversation dure exactement 11, 12, 13, 14 minutes ou plus. Dans ce cas, le montant de l'appel sera:

f (t) = 0.40 + 0.05 (T-10) $, pour t supérieur à 10 minutes, avec entier T.

C'est-à-dire que dans ce cas: t = 11, 12, 13, 14, 15 ... minutes.

Par exemple, supposons que la conversation dure exactement 15 minutes, le coût sera:

f (15) = 0.40 + 0.05 (15-10) $ = 0.65 $

Décimal

Enfin, considérez le cas dans lequel l'appel dure un temps avec une partie décimale. Par exemple, supposons que l'appel dure 15 minutes et 45 secondes, ce qui serait décimalement 15.75 minutes.

Nous pouvons l'exprimer en termes de la partie du type de plancher, en supposant que l'entreprise souhaite accorder plus d'avantages au client ou au ciel:

f (t) = 0.40 + 0.05 ⋅ [[T-9]] $

Voyons ce que le client paierait s'il s'agissait d'une fonction de plancher:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 ⋅ [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅ [[6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 6 $ = 0.70 $.

Ou en tant que fonction du ciel, dans ce cas, le coût serait:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅ [[6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 7 $ = 0.75 $.

Fonction et graphique

En tant que fonction définie par les pièces est:

Le graphique de la fonction serait comme ça, en supposant que la fonction de type de plafond entier a été choisie:

Figure 4. Graphique de la fonction étagée de l'exercice résolu 1. Source: Larson, R. Calcul d'une variable.

- Exercice 2

Calculez l'intégrale ∫s (x) dx entre -3 et 3 de la fonction étanche:

Solution

Nous appliquons la définition de l'intégrale de la fonction échelonnée:

Par conséquent, l'intégrale recherchée I est:

I = 1. [(-1) - (- 3)] + 2.[1- (-1)] + (- 1).[3-1] = 2 + 4-2 = 4

Les références

1. Jiménez, R. 2006.Fonctions mathématiques. Pearson Education.
2. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.
3. Mathématiques IV. Les fonctions. Récupéré de: cobaqroo.Édu.mx.
4. Wikipédia. Fonctions entières de pièce. Récupéré de: est.Wikipédia.org.
5. Wikipédia. Fonction échelonnée. Récupéré de: est.Wikipédia.org.