Fractions partielles

La méthode de décomposition dans les fractions partielles est utilisée pour résoudre les intégrales. Source: F. Zapata.

Que sont les fractions partielles?

La méthode de fractions partielles o Les fractions simples sont utilisées dans l'algèbre et le calcul mathématique pour décomposer une expression rationnelle, laissant une somme algébrique de fractions plus simples.

Étant les fractions simples supplémentaires, le calcul des opérations tels que les dérivés et les intégrales, entre autres, est facilité.

Considérez l'expression algébrique rationnelle suivante, qui se compose de polynômes p (x) et q (x) dans le numérateur et le dénominateur, respectivement:

Vous voulez écrire cette expression comme la somme des fractions plus petites. Pour ce faire, il convient de noter que le polynôme q (x) dans le dénominateur est un trinomial carré, qui peut être un facteur rapide, comme produit de deux facteurs:

X²+x - 12 = (x + 4) (x - 3)

Par conséquent, l'expression précédente reste la suivante:

Connaître la somme des fractions, cette façon d'écrire l'expression mène facilement à cet autre:

Il reste pour trouver les valeurs de A et B, de sorte que l'expression d'origine est exprimée comme la somme de ces deux fractions plus petites. Pour l'exemple indiqué, les valeurs sont: a = 3 et b = 2, et le lecteur peut confirmer que, en effet, la somme:

Il équivaut à l'expression originale:

Car:

Comment les fractions partielles sont-elles calculées?

Il existe des méthodes de calcul des coefficients qui doivent aller dans les numérateurs des fractions simples, qui dépendent de la forme de l'expression rationnelle originale, c'est-à-dire de la forme de p (x) / q (x).

En premier lieu, il faut se rappeler que, lorsque le degré de p (x) est inférieur à celui de q (x), c'est un propre expression rationnelle, Et si l'inverse se produit, c'est un Expression rationnelle inappropriée.

Les méthodes de décomposition en fractions simples se réfèrent à leurs propres expressions algébriques, si elles ne le sont pas, elles doivent d'abord être réduites, effectuant l'opération de division P (x) / q (x).

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Ensuite, l'objectif est de trouver les numérateurs de chacune des fractions, pour lesquels quatre cas sont distingués, ce qui dépend de la factorisation du dénominateur Q (x).

Cas 1: les facteurs de q (x) sont linéaires et non répétés

Si les facteurs de q (x) sont linéaires et non répétés, c'est-à-dire qu'ils sont de la forme (x-a_Toi):

Q (x) = (x -a₁)(pour₂)… (pour_n)

Avec un₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_n, c'est-à-dire que tous les facteurs de q (x) sont différents, l'expression rationnelle est écrite comme suit:

Les valeurs de a₁, POUR₂, POUR₃… POUR_n, Ils doivent être déterminés. L'expression rationnelle montrée au début est un exemple de ce cas.

Cas 2: Q (x) a répété des facteurs linéaires

Si q (x) se compose d'un facteur répété de la forme (x - a)ⁿ, Avec n ≥ 2, la décomposition des fractions partielles est réalisée comme suit:

Comme dans le cas précédent, les coefficients doivent être déterminés par des procédures algébriques.

Cas 3: Q (x) a un facteur quadratique irréductible non référé

Si par prise en compte Q (x), un facteur quadratique irréductible apparaît, de la forme de hache²+BX + C, pour ce facteur, dans la décomposition doit être inclus, un ajout avec cette forme:

Les valeurs de A et B doivent être trouvées.

Cas 4: Q (x) a un facteur quadratique irréductible et répété

En supposant que la factorisation de q (x) contient un facteur quadratique irréductible et répété²+Bx + c)ⁿ, Les adeptes suivants doivent être inclus:

Comme toujours, les coefficients nécessaires doivent être calculés. Les exemples ci-dessous montrent les procédures algébriques nécessaires.

Exemples de fractions partielles

Exemple 1

La propre expression rationnelle suivante:

Il est déjà livré avec le dénominateur factorisé, composé de deux facteurs linéaires non répétés, donc Q (x) est:

Q (x) = (x + 2) (x - 1)

Ensuite, la décomposition des fractions partielles recherchées correspond au cas 1, en mesure d'écrire:

Pour trouver les valeurs respectives de A et B, la somme de l'égalité est effectuée:

Peut vous servir: ellipse

Numérisateurs d'égalisation:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Appliquer des biens distributifs et regrouper des conditions similaires:

AX - A + BX + 2B = 3X

(A + b) x + (- a + 2b) = 3x

Le coefficient (A + B) est égal à 3, car les deux accompagnent les deux, de chaque côté de l'égalité, au terme qui contient "x". Pour sa part, le coefficient (−A + 2B) est égal à 0, car à droite d'égalité, il n'y a pas d'autre terme similaire.

Le système suivant de deux équations avec deux inconnues est ensuite formé:

A + b = 3
−a + 2b = 0

Dont la solution est:

A = 2
B = 1

Donc:

Le lecteur peut vérifier l'égalité, effectuant la somme des sections à droite.

Exemple 2

Dans cette autre expression:

Également factorisé, l'apparition du terme répété (x + 1) est observée², En plus du terme linéaire (x + 2). Dans ce cas, la décomposition en fractions partielles, comme indiqué dans le cas 2, est:

Pour trouver les valeurs de A, B et C, la somme de la droite est exécutée, et seul le numérateur est utilisé:

Le numérateur de l'expression résultante est égal à celui de l'expression d'origine, se développant algébriquement pour séparer les termes similaires:

A (x + 1)² + B (x + 2) (x + 1) + c (x + 2) = x - 3

A (x²+2x + 1) + b (x²+3x + 2) + c (x + 2) = x --3

(A + b) x² + (2a + 3b + c) x + (a + 2b + 2c) = x - 3

D'après le résultat, un système de trois équations avec trois inconnues A, B et C:

A + b = 0
2a + 3b + c = 1
A + 2B + 2C = −3

La solution système est:

A = −5
B = 5
C = −4

La décomposition des fractions partielles demandées est:

Exercice résolu

Cette section montre un exercice résolu illustrant l'application de la méthode de fractions partielles ou de fractions simples, au calcul des intégrales indéfinies. L'objectif est d'écrire l'intégration d'une manière plus simple.

Une fois réécrit, les intégrales simples résultantes sont recherchées dans un tableau ou résolues par un simple changement de variable.

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Il est demandé de calculer l'intégrale suivante:

Solution

La première consiste à vérifier que l'intégration est, en effet, une propre expression rationnelle algébrique, car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Son dénominateur est facilement facteur et reste:

Par conséquent, Q (x) est:

Q (x) = x (x²+2)

Et il se compose d'un terme linéaire: x et un terme quadratique irréductible non répété: x x²+2, par conséquent, il s'agit d'une combinaison du cas 1 et du cas 3. La décomposition dans les fractions partielles de l'intégration est:

Faire la somme du droit d'égalité:

Comme toujours, pour les fractions partielles ne fonctionne qu'avec le numérateur de l'expression de la somme, qui devrait toujours être égal à celle de l'expression d'origine:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Développement:

Hache² + 2a + bx² + Cx = 2

Regrouper des termes similaires:

(A + b) x² + Cx + 2a = 2

Égal aux coefficients des termes similaires, le système d'équations à résoudre est obtenu, avec les inconnues A, B et C:

A + b = 0
C = 0
2a = 2

D'après la deuxième équation, il est déjà connu que c = 0, du dernier, il suit que a = 1, donc b = -1, de sorte que le premier. Avec ces valeurs, il est obtenu:

Maintenant, il est remplacé dans l'intégrale d'origine:

Et deux intégrales simples avec des fonctions élémentaires sont obtenues, trouvées dans les tableaux ou sont une résolution rapide.

Le premier IDE ces intégrales est élémentaire:

Et la deuxième intégrale:

Il est résolu avec le changement de variable suivant: u = x²+4, du = 2xdx, donnant naissance à:

Retour du changement de variable:

Enfin, rassemblant les deux résultats, la solution est déterminée:

Les deux constantes d'intégration vont en un, appelé C.

Les références

1. Araujo, f. 2018. Calcul intégral. Université Polytechnique Salésienne. Éditorial de l'Université d'Abya-Yala. Quito, Equateur.
2. Arcega, r. Intégration par décomposition en fractions partielles. Récupéré de: UAEH.Édu.mx.
3. Larson, R. 2012. Précalation. 8e. Édition. Cengage Learning.
4. Purcell, E. J. 2007. Calcul. 9na. Édition. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. 13e. Édition. Cengage Learning.