Factorisation

Quelle est la factorisation?

La factorisation est une méthode à travers laquelle un polynôme est exprimé sous la forme de multiplication de facteurs, qui peuvent être des nombres, des lettres ou les deux. Pour facturer, les facteurs communs aux termes sont regroupés, et de cette façon le polynôme est décomposé dans plusieurs polynômes.

Ainsi, lorsque les facteurs se multiplient les uns avec les autres, le résultat est le polynôme d'origine. La factorisation est une méthode très utile lorsqu'il existe des expressions algébriques, car elle peut devenir la multiplication de plusieurs termes simples; Par exemple: 2ème² + 2AB = 2A _* (A + B).

Il existe des cas dans lesquels un polynôme ne peut être factorisé car il n'y a pas de facteur commun entre ses termes; Ainsi, ces expressions algébriques ne sont divisibles que entre elles et par 1. Par exemple: x + y + z.

Dans une expression algébrique, le facteur commun est le diviseur commun maximum des termes qui le composent.

Méthodes de factorisation

Il existe plusieurs méthodes de factorisation, qui sont appliquées en fonction de l'affaire. Certains d'entre eux sont les suivants:

Factorisation commune

Dans cette méthode, les facteurs courants sont identifiés; c'est-à-dire ceux qui sont répétés dans les termes de l'expression. Alors la propriété distributive est appliquée, le diviseur commun maximum est supprimé et la factorisation est terminée.

En d'autres termes, le facteur commun de l'expression est identifié et chaque terme est divisé entre cela; Les termes résultants seront multipliés par le diviseur commun maximum pour exprimer la factorisation.

Exemple 1

Factoriser (b²x) + (b²et).

Solution

Le premier est le facteur commun de chaque terme, qui dans ce cas est b², Puis les termes sont divisés entre le facteur commun comme suit:

(B²x) / b² = x

(B²y) / b² = Y.

La factorisation est exprimée, multipliant le facteur commun par les termes résultants:

(B²x) + (b²y) = b² (x + y).

Exemple 2

Factoriser (2e²b³) + (3ab²).

Solution

Dans ce cas, nous avons deux facteurs qui sont répétés à chaque terme qui sont "A" et "B", et qui sont élevés à un pouvoir. Pour les prendre en compte, les deux termes sont décomposés sous leur longue forme:

2_*pour_*pour_*b_*b_*B + 3a_*b_*b

On peut voir que le facteur «A» n'est répété qu'une seule fois au deuxième terme, et le facteur «B» est répété deux fois dans ce domaine; Ainsi, au premier terme, il n'y a que 2, un facteur "A" et un "B"; Tandis qu'au deuxième mandat, il ne reste que 3.

Par conséquent, il est écrit autant de fois que "A" et "B" sont répétés et multipliés par les facteurs qui restent de chaque terme, comme observé dans l'image:

Regroupement factorisé

Comme dans tous les cas, le diviseur commun maximal d'un polynôme est clairement exprimé, il est nécessaire de faire d'autres étapes pour pouvoir réécrire le polynôme et ainsi factoriser.

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L'une de ces étapes consiste à regrouper les termes du polynôme en plusieurs groupes, puis à utiliser la méthode du facteur commun.

Exemple 1

Factoriser AC + BC + AD + BD.

Solution

Il y a 4 facteurs où deux sont communs: au premier terme, c'est "C" et dans le second, il est "D". De cette façon, les deux termes sont regroupés et séparés:

(AC + BC) + (AD + BD).

Il est désormais possible d'appliquer la méthode du facteur commun, en divisant chaque terme par son facteur commun, puis en multipliant ce facteur commun par les termes résultants, comme ceci:

(AC + BC) / C = A + B

(ad + bd) / d = a + b

C (a + b) + d (a + b).

Maintenant, un binôme est obtenu qui est commun pour les deux termes. Pour le faire, il est multiplié par les facteurs restants; De cette façon, vous devez:

AC + BC + AD + BD =  (C + D) _* (A + B).

Factorisation d'inspection

Cette méthode est utilisée pour prendre en compte les polynômes quadratiques, également appelés trinomiaux; c'est-à-dire ceux qui sont structurés comme hache² ± bx + c, où la valeur de «a» est différente de 1. Cette méthode est également utilisée lorsque le trinôme a la forme x² ± bx + c et la valeur de "a" = 1.

Exemple 1

Facteur X² + 5x + 6.

Solution

Vous avez un trinôme quadratique de la forme x² ± bx + c. Pour le prendre en compte d'abord, deux nombres doivent être constatés que, lors de la multiplication, se traduit par la valeur «C» (c'est-à-dire 6) et que sa somme est égale au coeffic «B». Ces chiffres sont 2 et 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

De cette façon, l'expression est simplifiée comme suit:

(X² + 2x) + (3x + 6)

Chaque terme est un facteur:

• Pour (x² + 2x) Le terme commun est supprimé: x (x + 2)
• Pour (3x + 6) = 3 (x + 2)

Ainsi, l'expression reste:

x (x +2) +3 (x +2).

Comme vous avez un binomial commun, pour réduire l'expression, il multiplie cela par des restes et il doit:

X² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exemple 2

Factoriser 4A² + 12a +9 = 0.

Solution

Vous avez un trinôme quadratique de la forme de hache² ± bx + c et le facteur multiplie toute l'expression par le coefficient de x²; Dans ce cas, 4.

4e² + 12a +9 = 0

4e² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 A² + 12a (4) + 36 = 0

4² pour² + 12a (4) + 36 = 0

Désormais, deux nombres doivent être constatés que, lorsqu'il se multiplient les uns avec les autres, entraîne la valeur de «C» (qui est 36) et que lorsque vous rejoignez le coefficient du terme «A», qui est 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

De cette façon, l'expression est réécrite, en tenant compte de ce 4² pour² = 4A _* 4e. Par conséquent, une propriété distributive est appliquée à chaque terme:

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(4a + 6) _* (4a + 6).

Enfin, l'expression est divisée par le coefficient de²; c'est-à-dire 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

L'expression est la suivante:

4e² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factorisation avec des produits notables

Il y a des cas dans lesquels, pour prendre complètement en compte les polynômes avec les méthodes précédentes, cela devient un processus très long.

C'est pourquoi une expression peut être développée avec les formules de produits notables et donc le processus devient plus simple. Parmi les produits notables les plus utilisés figurent:

• Différence de deux carrés: (A² - b²) = (a - b) _* (A + B)
• Carré parfait d'une somme: un² + 2AB + B² = (a + b)²
• Carré parfait d'une différence: un² - 2AB + B² = (a - b)²
• Différence de deux cubes: A³ - b³ = (a-b)_*(pour² + ab + b²)
• Somme de deux cubes: un³ - b³ = (a + b) _* (pour² - ab + b²)

Exemple 1

Factoriser (5² - X²)

Solution

Dans ce cas, il y a une différence de deux carrés; Par conséquent, la formule du produit notable est appliquée:

(pour² - b²) = (a - b) _* (A + B)

(5² - X²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemple 2

Factoriser 16x² + 40x + 25²

Solution

Dans ce cas, il y a un carré parfait d'une somme, car deux termes carrés peuvent être identifiés, et le terme laissé est le résultat de la multiplication deux par la racine carrée du premier terme, par la racine carrée du deuxième terme.

pour² + 2AB + B² = (a + b)²

Pour facturer, seules les racines carrées des premier et troisième terme sont calculées:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Ensuite, les deux termes résultants sont exprimés séparés par le signe de l'opération, et tout le polynôme carré est élevé:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Exemple 3

Factoriser 27a³ - b³

Solution

L'expression représente une soustraction dans laquelle deux facteurs sont élevés au cube. Pour les prendre en compte, la formule du produit notable de la différence de cubes est appliquée, qui est:

pour³ - b³ = (a-b)_*(pour² + ab + b²)

Ainsi, pour facturer, la racine cubique est retirée de chaque terme du binôme et multiplié par le carré du premier terme, plus le produit du premier par le deuxième terme, plus le deuxième terme au carré.

27A³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27A³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3AB + B²)]

27A³ - b³ = (3a - b) _* (9A² + 3AB + B²)

Factorisation avec la règle Ruffini

Cette méthode est utilisée lorsque vous avez un polynôme de degré supérieur à deux, afin de simplifier l'expression en plusieurs polynômes plus petits.

Exemple 1

Factoritice Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Solution

Les nombres qui sont des diviseurs de 12 sont recherchés, qui est le terme indépendant; Ce sont ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 et ± 12.

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Ensuite, le X est remplacé par ces valeurs, du moins au plus grand, et il est donc déterminé avec laquelle des valeurs la division sera exacte; c'est-à-dire que le reste doit être 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Et ainsi de suite pour chaque diviseur. Dans ce cas, les facteurs trouvés concernent x = -1 et x = 2.

La méthode Ruffini est maintenant appliquée, selon laquelle les coefficients d'expression seront divisés par les facteurs trouvés afin que la division soit exacte. Les termes polynomiaux sont ordonnés à un exposant supérieur à un exposant plus bas; Dans le cas où un terme manque avec le degré qui suit dans la séquence, un 0 est placé en place.

Les coefficients sont situés dans un schéma comme le montre l'image suivante.

Le premier coefficient est abaissé et multiplié par le diviseur. Dans ce cas, le premier diviseur est -1, et le résultat est placé dans la colonne suivante. Ensuite, la valeur du coefficient avec ce résultat obtenu est ajoutée verticalement et le résultat est placé ci-dessous. De cette façon, le processus est répété jusqu'à la dernière colonne.

Alors la même procédure est à nouveau répétée, mais avec le deuxième diviseur (qui est 2) car l'expression peut toujours être simplifiée.

Ainsi, pour chaque racine réalisée, le polynôme aura un terme (x - a), où «a» est la valeur de la racine:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'un autre côté, ces termes devraient être multipliés par le reste qui restait de la règle Ruffini 1: 1 et -6, qui sont des facteurs qui représentent un degré. De cette façon, les formes d'expression sont: (x² + X - 6).

L'obtention du résultat de la factorisation polynomiale par la méthode de Ruffini est:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (X² + X - 6)

Enfin, le polynôme de grade 2 qui apparaît dans l'expression précédente peut être réécrit comme (x + 3) (x-2). Par conséquent, la factorisation finale est:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

Les références

1. Arthur Goodman, L. H. (mille neuf cent quatre vingt seize). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Comment apprendre aux enfants à prendre en compte un polynôme.
3. Manuel Morillo, un. S. (s.F.). Mathématiques de base avec applications.
4. Roelse, P. L. (1997). Méthodes linéaires pour la factorisation polynomiale sur les champs finis: théorie et implémentations. Essen universitaire.
5. Sharpe, D. (1987). Anneaux et factorisation.