Concept d'expérience aléatoire, espace d'échantillonnage, exemples

Il est question de expérience aléatoire Lorsque le résultat de chaque essai particulier est imprévisible, même lorsque la probabilité d'occurrence d'un certain résultat peut être établie.

Cependant, il convient de préciser qu'il n'est pas possible de reproduire le même résultat d'un système aléatoire avec les mêmes paramètres et conditions initiaux dans chaque essai de l'expérience.

Figure 1. Le lancement de dés est une expérience aléatoire. Source: Pixabay.

Un bon exemple d'une expérience aléatoire est le lancement d'un dés. Même lorsque vous veillez à lancer les dés de la même manière, dans chaque tentative, un résultat imprévisible sera obtenu. En fait, la seule chose qui peut être affirmée est que le résultat peut être parmi les éléments suivants: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Le lancement d'une devise est un autre exemple d'expérience aléatoire avec seulement deux résultats possibles: le visage ou le sceau. Bien que la monnaie soit lancée à partir de la même hauteur et de la même manière, le facteur de chance sera toujours présent, ce qui entraîne une incertitude à chaque nouvelle tentative.

L'opposé d'une expérience aléatoire est une expérience déterministe. Par exemple, on sait que chaque fois que l'eau est bouillie au niveau de la mer, la température d'ébullition est de 100 ºC. Mais il ne arrive jamais que, en maintenant les mêmes conditions, le résultat est parfois 90 ºC, 12 0 ° C et parfois 100 ºC.

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Espace d'échantillon

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé espace d'échantillon. Dans l'expérience aléatoire du lancement d'un dés, l'espace d'échantillonnage est:

D = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Pour sa part, lors du lancement d'une devise, l'espace d'échantillonnage est:

M = visage, sceau.

Événement ou événement

Dans une expérience aléatoire, un événement C'est l'événement ou non d'un certain résultat. Par exemple, dans le cas du lancement d'une monnaie, un événement ou un événement doit coûter cher.

Peut vous servir: côtés homologues

Un autre événement dans une expérience aléatoire pourrait être le suivant: qu'au lancement d'un dés.

Dans le cas où l'événement se déroule, alors l'ensemble des résultats possibles est l'ensemble:

E = 1, 2, 3

À son tour, il s'agit d'un sous-ensemble de l'ensemble d'espace ou d'échantillon:

M = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Exemples

Voici quelques exemples qui illustrent ce qui précède:

Exemple 1

Supposons que deux pièces sont lancées, l'une après l'autre. On demande:

a) Indiquez s'il s'agit d'une expérience aléatoire ou au contraire une expérience déterministe.

b) Quel est l'espace d'échantillon de cette expérience?

c) Indiquez l'ensemble de l'événement A, correspondant à l'expérience a un résultat de visage et de tampon.

d) Calculer la probabilité que l'événement se présente à.

e) Enfin, trouvez la probabilité que l'événement b: n'apparaît pas face au résultat.

Solution 

a) C'est une expérience aléatoire car il n'y a aucun moyen de prédire quel sera le résultat d'un lancement des deux pièces.

b) L'espace d'échantillonnage est l'ensemble de tous les résultats possibles:

S = (c, c), (c, s), (s, c), (s, s)

c) L'événement a, dans le cas qui est donné, peut avoir les résultats suivants:

A = (c, s), (s, c)

d) La probabilité de l'événement A est obtenue en divisant le nombre d'éléments de l'ensemble A entre le nombre d'éléments de l'ensemble correspondant à l'espace d'échantillonnage:

P (a) = 2/4 = ½ = 0.5 = 50%

e) L'ensemble des résultats possibles correspondant à l'événement B (n'apparaissant pas le visage au résultat) est:

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B = (s, s)

Ainsi, la probabilité que l'événement B se produise dans un essai est le rapport entre le nombre de résultats possibles de B entre le nombre de cas totaux:

P (b) = ¼ = 0.25 = 25%.

Exemple 2

Un sac contient 10 billes blanches et 10 billes noires. Du sac, ils sont retirés au hasard et sans regarder à l'intérieur de trois billes consécutivement. 

a) Déterminer l'espace d'échantillon de cette expérience aléatoire.

b) Déterminer l'ensemble des résultats correspondant à l'événement qui est qu'après l'expérience, il y a deux billes noires.

c) L'événement B est d'obtenir au moins deux billes noires, déterminer l'ensemble B de résultats pour cet événement.

d) Quelle est la probabilité que l'événement ait lieu?

e) Trouvez la probabilité que l'événement b.

f) Déterminer la probabilité que le résultat de l'expérience aléatoire est qu'au moins un marbre noir. Cet événement sera appelé C.

Figure 2. Billes noires et noires pour des expériences aléatoires. Source: NeedPix.

Solution à

Pour construire l'espace d'échantillonnage, il est utile de fabriquer un diagramme d'arbre, comme celui illustré à la figure 3:

figure 3. Diagramme d'arbre pour l'exemple 2. Préparé par Fanny Zapata.

L'ensemble ω des résultats possibles de l'extraction de trois billes d'un sac avec le même nombre de billes noires et noires, est précisément l'espace d'échantillon de cette expérience aléatoire.

Ω = (b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)

Solution B

L'ensemble des résultats possibles correspondant à l'événement A, qui consiste à avoir deux billes noires est:

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A = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)

Solution C

L'événement B est défini comme: "Pour avoir au moins deux billes noires après avoir fait l'extraction aléatoire de trois d'entre eux". L'ensemble des résultats possibles pour l'événement B est:

B = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)

Solution d

La probabilité d'avoir l'événement A est le rapport entre le nombre de résultats possibles pour cet événement, et le nombre total de résultats possibles, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'espace d'échantillon.

P (a) = n (a) / n (ω) = 3/8 = 0.375 = 37.5%

Donc il y en a 37.5% de probabilité d'avoir deux billes noires après avoir extrait au hasard trois billes du sac. Mais notez que nous ne pouvons en aucun cas prédire le résultat exact de l'expérience.

Solution E

La probabilité que l'événement B soit donné, composé d'au moins un marbre noir est:

P (b) = n (b) / n (ω) = 4/8 = 0.5 = 50%

Cela signifie que la possibilité de l'événement B est égale à la probabilité qui ne se produit pas. 

Solution F

La probabilité d'obtenir au moins un marbre noir, après avoir extrait trois d'entre elles, est égale à 1 de moins la probabilité que le résultat soit "les trois billes blanches".

P (c) = 1 - p (b b b) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%

Maintenant, nous pouvons vérifier ce résultat, notant que le nombre de possibilités contenant l'événement C est égal au nombre d'éléments des résultats possibles pour l'événement C:

C = (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)

N (c) = 7

P (c) = n (c) / n (ω) = ⅞ = 87.5%

Les références

1. Canalphi. Expérience aléatoire. Récupéré de: youtube.com.
2. Mathémovil. Expérience aléatoire. Récupéré de: youtube.com
3. Pishro Nick H . Introduction à la probabilité. Récupéré de: ProbabilityCourse.com
4. Ross. Probabilité et statistiques pour les ingénieurs. Colline MC-Graw.
5. Wikipédia. Expérience (théorie des probabilités). Récupéré de: dans.Wikipédia.com
6. Wikipédia. Événement déterministe. Récupéré de: est. Wikipédia.com
7. Wikipédia. Expérience aléatoire. Récupéré de: est.Wikipédia.com