Formules et équations d'erreur d'échantillonnage, calcul, exemples

La valeur moyenne de l'échantillon est indiquée par et la valeur moyenne de la population totale le dénote pour la lettre grecque μ (ça se lit Mu ou miu).

Supposons qu'ils soient pris m Échantillons de population totaux N, Toute taille égale n Avec des valeurs moyennes 1>, 2>, 3>, .. .m>.

Ces valeurs moyennes ne seront pas identiques les unes aux autres et seront toutes autour de la valeur de la population moyenne μ. Il Exemple de marge d'erreur E indique la séparation attendue des valeurs moyennes par rapport à la Valeur de population moyenne μ dans un pourcentage spécifié appelé le Niveau de confiance γ (Gamma).

Il Marge d'erreur standard ε de l'échantillon de taille n est:

ε = σ / √n

où σ est l'écart type (La racine carrée de la variance), qui est calculée par la formule suivante:

σ = √ [(x -)²/ (N - 1)]

Le sens de Marge d'erreur standard ε est le suivant:

Il valeur moyenne obtenu par l'échantillon de taille n est compris dans l'intervalle (- ε, + ε) avec un un niveau de confiance 68,3%.

Comment calculer l'erreur d'échantillonnage

Dans la section précédente, la formule a été donnée pour trouver le marge d'erreur standard d'un échantillon de n, où le mot standard indique qu'il s'agit d'une marge d'erreur avec 68% de confiance.

Cela indique que si de nombreux échantillons de la même taille ont été prélevés n, 68% d'entre eux donneront des valeurs moyennes dans la plage [- ε, + ε].

Il y a une règle simple, appelée le Règle 68-95-99.7 qui nous permet de trouver la marge de Exemple d'erreur E Pour des niveaux de confiance de 68%, 95% et 99,7% facilement, car cette marge est 1⋅ε, 2⋅ε et 3⋅ε respectivement.

Pour un niveau de confiance γ

Si il Niveau de confiance γ Ce n'est pas ce qui précède, donc l'erreur d'échantillonnage est l'écart type σ multiplié par le facteur Zγ, qui est obtenu par le biais de la procédure suivante:

1.- Premièrement la niveau de signification α qui est calculé à partir de Niveau de confiance γ À travers la relation suivante: α = 1 - γ

2.- Alors vous devez calculer la valeur 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, qui correspond à la fréquence normale accumulée entre -∞ et Zγ, Dans une distribution normale ou gaussienne caractérisée f (z), dont la définition peut être observée dans la figure 2.

3.- L'équation est résolue F (zγ) = 1 - α / 2 À travers les tables de distribution normales (accumulées) F, o via une application informatique qui a la fonction gaussienne inverse typique F^-1.

Dans ce dernier cas, vous avez:

Zγ = g^-1(1 - α / 2).

4.- Enfin, cette formule d'erreur d'échantillonnage avec un niveau de fiabilité est appliquée γ:

E = zγ⋅(σ / √n)

Exemples

- Exemple 1

Calculez le Marge d'erreur standard Sur le poids moyen d'un échantillon de 100 nouveau-nés. Le calcul du poids moyen était = 3 100 kg avec un écart-type σ = 1 500 kg.

Solution

Il Marge d'erreur standard est ε = σ / √n = (1 500 kg) / √100 = 0,15 kg. Ce qui signifie qu'avec ces données, on peut en déduire que le poids de 68% des nouveau-nés se situe entre 2 950 kg et 3.25 kg.

- Exemple 2

Déterminer la marge de l'échantillon d'erreur et et la plage de poids de 100 nouveau-nés avec un niveau de confiance à 95% si le poids moyen est de 3 100 kg avec un écart-type σ = 1 500 kg.

Solution

Si la Règle 68; 95; 99.7 → 1⋅ε; 2⋅ε; 3⋅ε, Tu as:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

En d'autres termes, 95% des nouveau-nés auront des pesos entre 2 800 kg et 3 400 kg.

- Exemple 3

Déterminez la gamme en pesos de nouveau-nés de l'exemple 1 avec une marge de confiance de 99,7%.

Solution

L'erreur de l'échantillon avec une confiance de 99,7% est 3 σ / √n, que pour notre exemple est E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. De là, il est déduit que 99,7% des nouveau-nés auront des pesos entre 2 650 kg et 3 550 kg.

- Exemple 4

Déterminer le facteur Zγ Pour un niveau de fiabilité de 75%. Déterminez la marge d'erreur d'échantillonnage avec ce niveau de fiabilité pour le cas soulevé dans l'exemple 1.

Solution

Il un niveau de confiance est γ = 75% = 0,75 qui se rapporte au niveau de signification α à travers la relation γ= (1 - α), de sorte que le niveau de signification est α = 1 - 0,75 = 0,25.

Cela signifie que la probabilité normale accumulée entre -∞ et Zγ est:

P (Z ≤ Zγ ) = 1 - 0,125 = 0,875

Ce qui correspond à une valeur Zγ de 1 1503, comme le montre la figure 3.

En d'autres termes, l'erreur d'échantillonnage est E = zγ⋅(σ / √n)= 1.15⋅(σ / √n).

Lorsqu'il est appliqué aux données de l'exemple 1, il donne une erreur de:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Avec un niveau de confiance de 75%.

- Exercice 5

Quel est le niveau de confiance si z_{α / 2} = 2.4 ?

Solution

P (z ≤ z_{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Le niveau de signification est:

α = 0,0164 = 1,64%

Et enfin, le niveau de confiance reste:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Les références

1. Canavos, g. 1988. Probabilité et statistiques: applications et méthodes. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. 8e. Édition. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistiques pour les administrateurs. 2e. Édition. Prentice Hall.
4. Sudman, s.1982. Poser des questions: un guide pratique de la conception du questionnaire. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. Pearson.
6. Wonnacott, t.H. et r.J. Wonnacott. 1990. Statistiques d'introduction. 5e ed. Wiley
7. Wikipédia. Exemple d'erreur. Récupéré de: dans.Wikipédia.com
8. Wikipédia. Marge d'erreur. Récupéré de: dans.Wikipédia.com