Exercices de factorisation résolus

La factorisation C'est la procédure algébrique par laquelle une expression algébrique devient des produits de termes plus simples. De cette façon, de nombreux calculs sont simplifiés.

Les exercices de factorisation aident à comprendre cette technique, qui est beaucoup utilisée en mathématiques et consiste dans le processus d'écriture d'une somme en tant que produit de certains termes.

Figure 1.- Grâce à la prise en compte, une expression algébrique étendue est transformée en un produit de facteurs avec lesquels il est confortable de travailler. Source: F. Zapata.

Pour prendre en compte correctement, vous devez commencer par voir s'il y a des lettres et des nombres en commun pour chaque terme. Par exemple l'expression 5x⁴ -10x³ + 25x², qui contient trois termes, il peut être facteur de remarquer que le "x" est répété dans chacun, bien qu'avec une puissance différente. Quant aux coefficients numériques, tous sont des multiples de 5.

Ainsi, le facteur commun se compose:

-Le produit entre le diviseur commun maximum des coefficients et

-La moindre puissance des lettres qui apparaissent.

Dans l'exemple, le facteur commun est:

5x²

Et l'expression reste comme ceci:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Le lecteur peut vérifier par l'application de propriétés distributives, que les deux expressions sont équivalentes.

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Méthodes de factorisation: différence carrée

Toutes les expressions algébriques ne sont pas en tenant compte comme nous.

Ainsi, avec un peu de pratique, le lecteur apprend à appliquer la méthode la plus pratique dans des cas tels que:

-Factorisation binomiale et trinomiale.

-Factorisation polynomiale.

-Calcul des racines polynomiales.

L'image de la figure 1 est très utile lorsque la question se pose: quel type de factorisation utilise pour un exercice?

Nous commencerons par une différence de carrés, pour laquelle la formule 1 du tableau est appliquée.

- Exercice résolu 1

Facteur du 16x Binomial² - 49

Solution

Dans cet exemple, la puissance n'est pas répétée et les coefficients numériques ne sont pas des cousins ​​les uns avec les autres, comme dans l'exemple du principe. Cependant, s'il est vérifié que l'expression donnée est un Différence de carrés, La formule 1 peut être appliquée.

Tout ce qui est nécessaire est d'identifier les termes pour et b:

pour² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → b = 49 = 7

Une fois identifié, procédez pour remplacer la formule:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Peut vous servir: réduction de termes similaires

Et l'expression reste en tant que produit à deux facteurs.

Dans ce cas et dans tous les cas, le lecteur peut corroborer que s'il développe le résultat avec la propriété distributive, l'expression algébrique d'origine est obtenue.

Factorisation trinomiale carrée parfaite

Ces cas correspondent aux formules 2 et 3 de la figure 1. Cependant, avant de l'appliquer, il faut vérifier que l'expression est réalisée:

-Deux termes sont les carrés parfaits de pour et b.

-Le terme restant est le double produit de A et B, c'est-à-dire: 2AB.

Si ce qui précède est vrai, c'est un trinôme carré parfait et les formules sont appliquées directement.

- Exercice résolu 2

Facteur trinomial: x² + 12x + 36

Solution

Cette expression semble appropriée pour appliquer la formule 2 dans la boîte, mais nous devons d'abord vérifier qu'il s'agit d'un trinôme carré parfait. Il est d'abord observé que le premier et le troisième terme sont des carrés parfaits:

• X² C'est le carré parfait de x, puisque (x)² = x²
• 36 est le carré parfait de 6, depuis 6² = 36

Ensuite:

a = x
B = 6

Et enfin il faut vérifier que le terme restant est 2AB, et en effet:

12x = 2⋅x⋅6

Il soustrait uniquement en tenant compte de la formule:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Exercice résolu 3

Écrivez l'expression 4x² -20x + 25 sous forme factorielle.

Solution

Comme il y a un terme de signe négatif pourrait servir la formule 3 dans la boîte, mais avant qu'il ne soit vérifié qu'il s'agit d'un trinôme carré parfait:

• 4x² C'est le carré 2x, puisque (2x)² = 4x², Par conséquent A = 2x
• 25 équivaut à 5², alors b = 5
• Le terme 20x est égal à 2⋅2x⋅5 = 20x

La factorisation reste comme ceci:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Somme et différence de cubes

Lorsque vous avez des sommes ou des différences de cubes, les formules 4 ou 5 s'appliquent en fonction de l'affaire.

- Exercice résolu 4

Factoriser 8x³ - 27

Solution

Nous avons une différence dans les cubes ici, donc extraire la racine cubique de chaque terme:

Alors a = 2x et b = 3.

La formule 4 est suivie, ce qui convient à la différence de cubes:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Factorisation en regroupant les termes

Dans l'image suivante, il y a un polynôme avec quatre termes qui doivent être factorisés. Les trois premiers termes ont "x" en commun, mais le dernier ne fait pas. Nous ne pouvons pas non plus dire que les coefficients numériques sont des multiples du même facteur.

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Cependant, nous essaierons de regrouper les termes en deux parties avec des parenthèses, indiquées avec la flèche jaune: les deux premiers termes ont en commun le "X", tandis que les deux derniers ont en commun que les coefficients sont des multiples de 5.

Nous prenons en compte ces deux groupes (Blue Arrow). Maintenant, le lecteur doit observer qu'en factorisation, un nouveau facteur commun sort: la parenthèse (3x + 2).

Toucher la facteur pour la deuxième fois (flèche rose), car (3x + 2) est un facteur commun de x et 5.

Figure 2. Un exemple de la façon de prendre en compte le regroupement des termes. Source: F. Zapata.

Les racines d'un polynôme

Sont les valeurs de la variable qui annulent le polynôme. S'il s'agit d'un polynôme dont la variable est "x", comme nous l'avons vu, car il s'agit de trouver les valeurs de x telles que lors du remplacement, la valeur numérique obtenue est 0.

La factorisation est une méthode pour trouver des zéros dans certains polynômes. Regardons un exemple:

- Exercice résolu 5

Trouver les zéros de trinomial x² -2x - 3

Solution

Nous prenons en compte le trinôme, mais ce n'est pas un trinôme carré parfait. Cependant, nous pouvons effectuer une procédure par Tanteo. Nous avons écrit le trinomial comme produit de deux facteurs, comme ceci:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

Dans la première parenthèse, le premier signe trinomial est placé, vu de gauche à droite. C'est un signe (-). Dans la deuxième parenthèse, le produit des deux signes qui apparaissent après le terme avec x²:

(-) x (-) = +

De cette façon, la factorisation sera observée:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Maintenant, vous devez rechercher deux numéros A et B qui vont être mis dans les espaces vides. Une fois multiplié, il faut 3:

• A x b = 3

Et ils doivent également se conformer au fait que lorsque vous en résulte, il est 2, car les signes de parenthèses sont différents.

(S'ils avaient été des signes égaux, deux nombres A et B doivent être recherchés que lorsqu'ils ont ajouté, ils ont donné le coefficient du terme avec "x"). Ensuite:

• A - b = 2

Les nombres qui remplissent les deux conditions sont de 3 et 1, depuis:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Le nombre le plus élevé est placé dans la parenthèse de la gauche et la factorisation reste la suivante:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Les zéros du polynôme sont les valeurs de x qui annulent chaque facteur:

Peut vous servir: même les nombres

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Le lecteur peut vérifier que le remplacement de ces valeurs dans le trinôme d'origine, ceci est annulé.

Autres exercices

- Exercice résolu 6

Facteur le polynôme suivant: P (x) = x²-1.

Solution

Il n'est pas toujours nécessaire d'utiliser le solvant. Dans cet exemple, un produit remarquable peut être utilisé.

Réécrire le polynôme comme suit.

En utilisant le produit remarquable 1, la différence de carrés, le polynôme p (x) peut être en factorisation comme suit: P (x) = (x + 1) (x-1).

Cela indique également que les racines de P (x) sont x1 = -1 et x2 = 1.

- L'exercice résolu 7

Fait le polynôme suivant: q (x) = x³ - 8.

Solution

Il y a un produit remarquable qui dit ce qui suit: a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²).

Sachant cela, vous pouvez réécrire le polynôme Q (x) comme suit: q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Maintenant, en utilisant le produit notable décrit, la factorisation du polynôme q (x) est q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

En effectivement manquant le polynôme quadratique qui est apparu à l'étape précédente. Mais s'il est observé, le produit numéro 2 remarquable peut aider; Par conséquent, la factorisation finale de q (x) est donnée par q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Cela dit qu'une racine de q (x) est x1 = 2, et que x2 = x3 = 2 est l'autre racine de q (x), qui est répétée.

- L'exercice résolu 8

Factoriser R (x) = x² - x - 6.

Solution

Lorsqu'un produit notable ne peut pas être détecté ou que l'expérience nécessaire pour manipuler l'expression n'est pas disponible, l'utilisation du résolvant est procédé. Les valeurs sont les suivantes a = 1, b = -1 et c = -6.

Lorsque vous les remplacez dans la formule, il est x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.

À partir d'ici, deux solutions qui sont les suivantes:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Par conséquent, le polynôme r (x) peut être en tenant comme r (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

- L'exercice résolu 9

Facteur h (x) = x³ - x² - 2x.

Solution

Dans cet exercice, vous pouvez commencer par éliminer le facteur commun X et il est obtenu que h (x) = x (x²-x-2).

Par conséquent, il ne reste que pour prendre en compte le polynôme quadratique. En utilisant à nouveau le solvant, les racines doivent être:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Par conséquent, les racines du polynôme quadratique sont x1 = 1 et x2 = -2.

En conclusion, la factorisation du polynôme h (x) est donnée par H (x) = x (x-1) (x + 2).

Les références

1. Baldor. 1977. Algèbre élémentaire. Éditions culturelles vénézuéliennes.
2. Racines d'un polynôme. Que sont et comment sont calculés étape par étape. Récupéré de: ekuatio.com.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.