Formule d'équations au deuxième degré, comment les résoudre, exemples, exercices

Le Équations du deuxième degré ou quadratiques Et un inconnu a la forme hache² + bx + c = 0. Là où a ≠ 0, car étant 0, l'équation serait transformée en une équation linéaire, et les coefficients a, b et c sont des nombres réels.

L'inconnu à déterminer est la valeur de x. Par exemple, l'équation 3x² - 5x + 2 = 0 est une équation complète du deuxième degré.

Figure 1. La formule pour résoudre les équations du deuxième degré ou quadratiques d'un inconnu

Il existe également des variantes connues comme des équations incomplètes hache². Voici quelques exemples:

X² - 25 = 0

3x² - 5x = 0

Al Juarismi, le célèbre mathématicien arabe de l'antiquité, décrit dans ses œuvres divers types d'équations de premier et deuxième degré, mais uniquement avec des coefficients positifs. Cependant, c'était le mathématique français Résolvant:

Il s'agit d'une formule générale qui permet de résoudre une équation quadratique, trouvant les racines ou les zéros de la même chose, même si les solutions ne sont pas réelles. Il existe également d'autres moyens de les résoudre.

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Comment résoudre les équations de deuxième année?

Les équations du deuxième degré peuvent être résolues par la formule donnée ci-dessus, et il existe également d'autres procédures algébriques qui peuvent fonctionner dans certaines équations.

Nous allons résoudre l'équation proposée au début avec la formule, une méthode valide pour toute équation du deuxième degré avec une inconnue:

3x² - 5x + 2 = 0

Pour utiliser la formule, nous notons correctement que:

• pour C'est le coefficient du terme avec x²
• b C'est le coefficient du terme linéaire
• c est le terme indépendant.

Identifions-les à partir de la même équation:

A = 3

B = -5

C = 2

Notez que le signe qui accompagne le coefficient doit être pris en compte. Maintenant, nous remplaçons ces valeurs dans la formule:

Dans le numérateur est le symbole de «plus - moins» ±, ce qui indique que la quantité avec racine peut être considérée comme positive et aussi négative. Une équation au deuxième degré a un maximum de deux solutions réelles, et ce symbole en tient compte.

Appelons x₁ et x₂ À ces deux solutions, alors:

X₁ = (5 + 1) / 6 = 1

X₂ = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Résolution par factorisation

Certaines équations du deuxième degré sont constituées de trinomiaux qui sont facilement facteurs. Si c'est le cas, cette méthode est beaucoup plus rapide. Considérez l'équation:

X² + 7x - 18 = 0

La factorisation a cette forme:

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(x +) ⋅ (x -)

Les espaces vides sont remplis de deux nombres qui, lorsqu'ils sont multipliés en 18, et lorsqu'ils sont soustraits, 7 sont 7. Les signes entre parenthèses sont choisis avec ce critère:

-Dans la première parenthèse, le signe entre le premier et le deuxième terme est placé.

-Et dans la deuxième parenthèse va le produit des signes qui sont vus.

Quant aux chiffres, ils sont facilement dans ce cas: ils sont 9 et 2. L'aîné est toujours placé dans la première des parenthèses, comme ceci:

X² + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Le lecteur peut vérifier à travers une propriété distributive qui, lors du développement du produit du côté droit de l'égalité, le trinôme de la gauche est obtenu. Maintenant, l'équation est réécrite:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

Pour que l'égalité soit remplie, il suffit que l'un des deux facteurs soit nul. Donc, dans le premier, cela doit être fait₁ = -9 ou il se peut que le deuxième facteur soit annulé, dans ce cas x₂ = 2. Ce sont les solutions d'équation.

Méthode graphique

Les racines ou solutions de l'équation du deuxième degré correspondent aux intersections de la parabole y = = hache² + bx + c Avec l'axe horizontal ou l'axe x. De sorte qu'en graphiquement la parabole correspondante, nous trouverons la solution de l'équation du deuxième degré faisant y = 0.

Les coupes des paraboles avec l'axe horizontal représentent les solutions de l'équation hache² + bx + c = 0. Une parabole qui ne coupe que l'axe horizontal en un seul point a une seule racine et ce sera toujours le sommet de la parabole.

Et enfin, si une parabole ne coupe pas à l'axe horizontal, l'équation correspondante hache² + bx + c = 0 Il manque de vraies solutions.

Construire un graphique à main peut être laborieux, mais avec l'utilisation de programmes qui graphiquement en ligne, c'est très simple.

Figure 2. Représentation graphique de trois types de paraboles, avec deux, un et pas d'intersection avec l'axe horizontal. Source: Wikimedia Commons.

Résolution avec calculatrice scientifique

De nombreux modèles de calculatrices scientifiques ont la possibilité de résoudre des équations au deuxième degré (et également d'autres types d'équations). Pour le savoir, vous devez revoir le menu.

Une fois l'option d'équation quadratique d'une inconnue choisie, le menu demande à saisir les valeurs des coefficients A, B et C et à renvoyer les solutions réelles si elles existent. Et il existe également des modèles de calculatrices scientifiques qui travaillent avec des nombres complexes et offrent ces solutions.

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Discriminer à partir d'une équation du deuxième degré

Pour savoir si l'équation a des solutions réelles ou non, et combien en sont, sans avoir besoin de résoudre d'abord, le discriminant est défini comme la quantité sous la racine carrée:

Δ = b² - 4AC

Selon le signe discriminant, on sait combien de solutions l'équation a selon ce critère:

-Deux vraies solutions: Δ> 0

-Une vraie solution (ou deux solutions identiques): Δ = 0

-Pas de vraie solution: δ  < 0

Par exemple, combien de solutions l'équation du deuxième degré a -7x² +12x + 64 = 0? Nous identifions les coefficients:

A = -7

B = 12

C = 64

Δ = b² - 4AC = 12² - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

L'équation a deux solutions. Voyons maintenant celui-ci:

X² - 6x + 9 = 0

A = 1

B = -6

C = 9

Δ = (-6)² - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Ceci est une équation avec une solution unique ou deux solutions égales.

Exemples d'équations simples du deuxième degré

Au début, nous avons dit que les équations du deuxième degré pouvaient être complètes si le trinôme était, et incomplet si le terme linéaire ou le terme indépendant manquait. Voyons maintenant certains types particuliers:

Équation de la forme x² + mx + n = 0

Dans ce cas, A = 1 et la formule est réduite à:

Pour ce type d'équation, et toujours en fonction des coefficients restants, la méthode de factorisation peut bien fonctionner, comme nous l'avons vu dans la section précédente.

Équation incomplète du formulaire de hache² + C = 0

La solution, si elle existe, est la forme:

Il y a une vraie solution quand un O C a un signe négatif, mais si les deux termes ont le même signe, la solution sera imaginaire.

Équation incomplète du formulaire de hache² + Bx = 0

Cette équation est rapidement résolue en utilisant la factorisation, car le X est un facteur commun dans les deux termes. L'une des solutions est toujours x = 0, l'autre est comme ceci:

hache² + Bx = 0

x (ax + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b / a

Regardons un exemple alors. Résoudre:

X² - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Par conséquent X₁ = 0 et x₂ = 5

Équations avec dénominateur

Il existe plusieurs équations rationnelles, dans lesquelles l'inconnu peut être présent à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur, ou même uniquement dans les seconds, et que par les manipulations algébriques sont réduites à des équations quadratiques.

La façon de les résoudre est de multiplier les deux côtés de l'égalité par le minimum commun multiple ou m.c.m des dénominateurs puis réorganisez les termes. Par exemple:

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Équations d'ordre supérieur qui sont transformées en quadratiques

Il existe des équations d'ordre supérieur qui, grâce à un changement variable, peuvent être résolues comme si elles étaient quadratiques, par exemple cette équation Bicadrada:

X⁴ - 10x² + 9 = 0

Let x² = U, alors l'équation est transformée en:

ou² - 10U + 9 = 0

Cette équation est rapidement résolue par factorisation, trouvant deux nombres qui se multiplient dans 9 et ajoutent 10. Ces chiffres sont 9 et 1:

(U - 9).(U - 1) = 0

Par conséquent, les solutions de cette équation sont u₁ = 9 et u₂ = 1. Maintenant, nous retournons le changement:

X² = 9 → x₁ = 3 et x₂ = -3

X² = 1 → x₁ = 1 et x₂ = -1

L'équation d'origine est de l'ordre 4, donc il a au moins 4 racines. L'exemple est -3, -1, 1 et 3.

Exercices résolus simples

- Exercice 1

Résolvez l'équation quadratique suivante avec l'inconnu dans le dénominateur:

Le multiple commun minimum est x (x + 2) et doit se multiplier à tous les termes:

L'expression équivalente reste:

5x (x + 2) - x = x (x + 2)

Nous développons:

5x² + 10x - x = x² + 2x

Tous les termes sont transposés à gauche de l'égalité et à droite est gauche 0:

5x² + 10x - x - x² - 2x = 0

4x² - 7x = 0

Nous tentons en compte, car il s'agit d'une équation incomplète:

x (4x - 7) = 0

L'une des solutions est x = 0, l'autre est:

4x = 7

x = 7/4

- Exercice 2

Trouvez la solution des équations du deuxième degré:

a) -7x² +12x + 64 = 0

b) x² - 6x + 9 = 0

Solution à

De cette équation, nous connaissons le déterminant δ, car il a été calculé comme exemple, nous allons donc en profiter, exprimant la formule de solvant comme suit:

X₁ = (-12 + 44) / - 14 = - (32/14) = - (16/7)

X₂ = (-12 -44) / -14 = 4

Solution B

Le trinôme carré x² - 6x + 9 est factorisable, car il s'agit d'un trinôme carré parfait:

X² - 6x + 9 = (x-3)² = 0

La solution de cette équation est x = 3.

- Exercice 3

Quelle est l'équation dont les solutions sont 3 et 4?

Solution

L'expression factorielle est:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Application de biens distributifs:

X² - 4x -3x + 12 = 0

Les deux termes centraux sont similaires et peuvent être réduits, étant: partant:

X² - 7x + 12 = 0

Les références

1. Baldor. 1977. Algèbre élémentaire. Éditions culturelles vénézuéliennes.
2. Hoffman, J. Sélection de problèmes de mathématiques. 2ieme volume.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
5. Zapata, f. 4 façons de résoudre une équation du deuxième degré. Récupéré de: Francesphysics.Blogspot.com.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.