Formule d'équations de première année, comment les résoudre, exemple, exercices

Le Équations au premier degré ou linéaires Avec une inconnue sont celles qui peuvent être exprimées comme la somme de deux termes, de la manière suivante:

ax + b = 0

Où A et B, avec pour ≠ 0, sont des nombres réels r ou aussi des complexes C. Pour le résoudre, les termes sont transposés, ce qui signifie changer les termes d'un côté à un autre de l'égalité.

Figure 1. Une équation linéaire est y = mx + c. Source: pxhere.

Pour effacer l'inconnu, le terme + b est transposé, qui doit aller sur le côté droit de l'égalité avec un signe modifié.

hache = -b

Ensuite, la valeur de X est effacée, de cette manière:

x = - b / a

À titre d'exemple, nous résoudrons l'équation suivante:

6x - 5 = 4

Nous transposons le terme -5 vers le côté droit avec un signe modifié:

6x = 4 + 5

Cela équivaut à ajouter 5 des deux côtés de l'équation d'origine:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

Et maintenant, nous effacons l'inconnu "X":

x = 9/6 = 3/2

Ce qui équivaut à diviser les deux côtés de l'égalité par 6. Nous pouvons donc évaluer ce qui suit pour obtenir la solution:

-Le même montant peut être ajouté ou soustrait les deux côtés de l'égalité dans une équation, sans le modifier.

-Vous pouvez également multiplier (ou diviser) par le même montant à tous les termes à gauche et à droite de l'équation.

-Et si les deux membres d'une équation atteignent le même pouvoir, l'égalité n'est pas modifiée non plus.

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Comment résoudre les équations au premier degré

La solution d'une équation au premier degré est également connue comme la racine de la même. C'est la valeur de x qui convertit l'expression d'origine en une égalité. Par exemple dans:

5x = 8x - 15

Si nous remplaçons x = 5 dans cette équation, il est obtenu:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40 - 15

25 = 25

Comme les équations linéaires au premier degré se présentent à bien des égards, qui ne sont parfois pas évidentes, il existe une série de règles générales qui comprennent plusieurs manipulations algébriques, afin de trouver la valeur de l'inconnu:

-Premièrement, s'il y a des opérations indiquées, celles-ci doivent être effectuées.

-Le regroupement des symboles tels que les parenthèses, les crochets et les clés, s'ils existent, doivent être supprimés en maintenant les signes appropriés.

-Les termes sont transposés pour placer tous ceux qui contiennent l'inconnu d'un seul côté d'égalité, et ceux qui ne le contiennent pas à l'autre.

-Alors tous les termes similaires sont réduits, pour atteindre le formulaire hache = -b.

-Et la dernière étape consiste à effacer l'inconnu.

Interprétation graphique

L'équation du premier degré soulevée au début peut être dérivée de l'équation de la ligne y = mx + c, faisant y = 0. La valeur de x qui résulte correspond à l'intersection de la ligne avec l'axe horizontal.

Dans la figure suivante, vous avez trois lignes. En commençant par la ligne verte, dont l'équation est:

Peut vous servir: factorisation

y = 2x - 6

Faire y = 0 dans la ligne de la ligne L'équation du premier degré est obtenue:

2x - 6 = 0

Dont la solution est x = 6/2 = 3. Maintenant, lorsque nous détaillez le graphique, il est facile de réaliser qu'en effet, la ligne coupe à l'axe horizontal à x = 3.

La ligne bleue coupe l'axe x à x = 5, qui est la solution à l'équation -x + 5 = 0. Enfin, la ligne dont l'équation est y = 0.5x + 2 Coupez-vous à l'axe x à x = -4, qui est facilement averti de l'équation du premier degré:

0.5 x + 2 = 0

x = 2/0.5 = 4

Figure 2. Trois lignes dont les intersections avec l'axe horizontal correspondent à des équations linéaires. Source: Wikimedia Commons.

Exemples d'équations linéaires simples   

Equations entières

Ce sont ceux qui sont dans lesquels il n'y a pas de dénominateurs, par exemple:

21 - 6x = 27 - 8x

Sa solution est:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Équations fractionnées

Ces équations contiennent au moins un dénominateur différent de 1. Pour les résoudre, il est conseillé.

L'équation suivante est un type fractionnaire:

Les dénominateurs sont 6, 8 et 12 et leur multiple commun minimum, indiqué comme M.c.M (6, 8,12) est le moindre des nombres contenant ces dénominateurs.

Comme ces chiffres sont petits, il n'est pas difficile de voir que m.c.M (6, 8,12) = 24. Ce résultat est facilement obtenu en exprimant les nombres en tant que produit de nombres premiers ou de leurs pouvoirs, voyons:

6 = 3.2

8 = 2³

12 = 2²⋅3

Le multiple commun minimum est déterminé en multipliant les facteurs communs et non communs de 6, 8 et 12 avec son plus grand exposant, puis:

MCM (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Étant donné que le multiple commun minimum est disponible, il doit être multiplié par chacun des termes de l'équation:

De cette façon, les dénominateurs sont supprimés et il y a une équation avec des produits, plus facile à résoudre:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Nous utilisons des biens distributifs:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Tous les termes qui contiennent les "x" inconnus sont regroupés du côté gauche de l'égalité, laissant les termes indépendants ou numériques du côté droit:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Équations littérales

Ce sont des équations linéaires avec une inconnue, qui sont cependant accompagnées de coefficients littéraux (lettres). Ces lettres sont traitées comme cela serait fait avec les chiffres. Un exemple d'une équation littérale de première degrés est:

-3ax + 2a = 5x - b

Cette équation est résolue de la même manière que si les termes et coefficients indépendants étaient numériques:

-3ax - 5x = - b - 2a

En tenant compte de l'inconnu "x":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = (- b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Systèmes d'équations au premier degré 

Les systèmes d'équations se composent d'un ensemble d'équations avec deux ou plusieurs inconnues. La solution système se compose de valeurs qui satisfont simultanément les équations et pour la déterminer sans équivoque, il doit y avoir une équation pour chaque inconnue.

Peut vous servir: algèbre vectorielle

La forme générale d'un système de m Équations linéaires avec n Les inconnues sont:

pour_onzeX₁ + pour₁₂X₂ +… pour_1nX_n = b₁
pour_vingt-et-unX₁ + pour₂₂X₂ +… pour_2nX_n = b₂
..
pour_M1X₁ + pour_M2X₂ +… pour_MNX_n = b_m

Si le système a une solution, on dit qu'il est déterminé compatible, Lorsqu'il y a un ensemble infini de valeurs qui le satisfont compatible indéterminé, Et enfin, s'il n'a pas de solution, alors c'est incompatible.

Dans la résolution des systèmes d'équations linéaires, plusieurs méthodes sont utilisées: réduction, remplacement, égalisation, méthodes graphiques, élimination de Gauss-Jordan et utilisation des déterminants sont parmi les plus utilisés. Mais il existe d'autres algorithmes pour atteindre la solution, plus pratique pour les systèmes avec de nombreuses équations et inconnues.

Un exemple de système d'équations linéaires avec deux inconnues est:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

La solution de ce système est soumise plus tard dans la section des exercices résolus.

Équations linéaires avec valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel est la distance entre son emplacement sur la ligne numérique et le 0. Être une distance, sa valeur est toujours positive.

La valeur absolue d'un nombre est indiquée par les barres de module: │x│. La valeur absolue d'un nombre positif ou négatif est toujours positive, par exemple:

│ + 8│ = 8

│-3│ = 3

Dans une équation avec une valeur absolue, l'inconnu est entre les barres de module. Considérez l'équation simple suivante:

│x│ = 10

Il y a deux possibilités, la première est que X est un nombre positif, auquel cas nous avons:

x = 10

Et l'autre possibilité est que X est un nombre négatif, dans ce cas:

x = -10

Ce sont les solutions de cette équation. Voyons maintenant un exemple différent:

│x + 6│ = 11

Le montant dans les barres peut être positif, alors:

x + 6 = 11

x = 11 -6 = 5

Ou peut être négatif. Dans ce cas:

-(x + 6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

Et la valeur de l'inconnu est:

x = -17

Cette équation de valeur absolue a donc deux solutions: x₁ = 5 et x₂ = -17. Nous pouvons vérifier que les deux solutions conduisent à l'égalité dans l'équation d'origine:

│5 + 6│ = 11

│11│ = 11

ET

│-17 + 6│ = 11

│-11│ = 11

Exercices résolus simples

- Exercice 1

Résolvez le système suivant d'équations linéaires avec deux inconnues:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Solution

À mesure que ce système est soulevé, il convient à l'utilisation de la méthode de remplacement, car dans la deuxième équation, l'inconnu X Il est presque prêt pour l'autorisation:

x = (3y + 6) / 6

Peut vous servir: algébrique

Et vous pouvez immédiatement remplacer la première équation, qui devient alors une équation de première degré par "Y" inconnue:

8 [(3y + 6) / 6] - 5 = 7y - 9

Le dénominateur peut être supprimé si chaque terme est multiplié par 6:

6 . 8⋅ [(3y + 6) / 6] - 6.5 = 6 .7Y- 6 . 9

8⋅ (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Appliquer des biens distributifs au premier terme au droit d'égalité:

24y + 48 -30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

L'équation peut être simplifiée, car tous les coefficients sont multiples de 6:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Avec ce résultat, nous allons à l'autorisation de x:

x = (3y +6) / 6 → x = (12 +6) / 6 = 3

- Exercice 2

Résolvez l'équation suivante:

Solution

Dans cette équation, les produits apparaissent et suivant les instructions données au début, elles doivent être développées en premier:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Ensuite, tous les termes contenant les inconnues sont transportés sur le côté gauche de l'égalité, et sur le côté droit, les termes indépendants seront:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Exercice 3

En ajoutant les trois angles intérieurs d'un triangle, 180º est obtenu. Le plus grand dépasse l'enfant en 35º, ce qui dépasse à son tour en 20º la différence entre le plus grand et le moyen. Quels sont les angles?

Solution

Nous appellerons "x" à l'angle majeur, "y" au milieu et "z" à l'enfant. Lorsque la déclaration indique que la somme d'entre eux est de 180 °, vous pouvez écrire:

x + y + z = 180

Ensuite, nous savons que le plus ancien dépasse l'enfant en 35º, nous pouvons écrire ceci:

X = z + 35

Enfin, l'enfant dépasse à 20 º à la différence entre le plus grand et le moyen:

Z = x - y + 20

Nous avons un système de 3 équations et 3 inconnues:

x + y + z = 180

X = z + 35

Z = x - y + 20

En nettoyant la première équation, vous avez:

Z = 180 - x - y

Correspondant au troisième:

180 - x - y = x - y + 20

Passer les inconnues au côté gauche comme toujours:

-x - y - x + y = 20 - 180

Le "Y" est annulé et reste:

-2x = - 160

x = 80º

La deuxième équation est la valeur de z:

Z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

Et la valeur de et est du premier ou du troisième:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Les références

1. Baldor. 1977. Algèbre élémentaire. Éditions culturelles vénézuéliennes.
2. Institut Monterey. Équations, inégalités et valeur absolue. Récupéré de: montereyinstitute.org.
3. Enseignant en ligne. Classification des équations linéaires ou au premier degré. Récupéré de: professeur en ligne.CL.
4. Hoffman, J. Sélection de problèmes de mathématiques. 2ieme volume.
5. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.