Concept de distribution binomiale, équation, caractéristiques, exemples

La distribution binomiale Il s'agit d'une distribution de probabilités par laquelle la probabilité d'occurrence de l'événement est calculée, à condition qu'elles se produisent sous deux modalités: succès ou échec.

Ces confessions (succès ou échec) sont complètement arbitraires, car elles ne signifient pas nécessairement de bonnes ou de mauvaises choses. Au cours de cet article, nous indiquerons la forme mathématique de la distribution binomiale, puis la signification de chaque terme sera expliquée en détail.

Figure 1. Le lancement d'un dés est un phénomène qui peut être modélisé par la distribution binomiale. Source: Pixabay.

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Équation

 L'équation est la suivante:

Avec x = 0, 1, 2, 3 .. .n, où:

- P (x) est la probabilité d'avoir exactement X succès entre n tentatives ou essais.

- X C'est la variable qui décrit le phénomène d'intérêt, correspondant au nombre de succès.

- n Le nombre de tentatives

- p C'est la probabilité de succès dans 1 tentative

- q C'est la probabilité d'échec dans 1 tentative, donc Q = 1 - P

Le symbole d'admiration "!«Il est utilisé pour la notation factorielle, de sorte que:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Et ainsi de suite.

Concept

La distribution binomiale est très appropriée pour décrire les situations dans lesquelles un événement se produit ou ne se produit pas. Si cela se produit, c'est un succès et sinon, alors c'est un échec. De plus, la probabilité de succès doit toujours être constante.

Il existe des phénomènes qui correspondent à ces conditions, par exemple le lancement d'une devise. Dans ce cas, nous pouvons dire que le "succès" est d'obtenir un visage. La probabilité est ½ et ne change pas, peu importe combien de fois la devise est lancée.

Le lancement d'un dés honnête est un autre bon exemple, ainsi que de catégoriser dans de bonnes pièces et des pièces défectueuses une certaine production et obtenir un rouge au lieu d'un noir.

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Caractéristiques

Nous pouvons résumer les caractéristiques de la distribution binomiale comme suit:

- Tout événement ou observation est extrait d'une population infinie sans remplacement ou d'une population finie avec remplacement.

- Seules deux options sont considérées, mutuellement exclusives: succès ou échec, comme expliqué au début.

- La probabilité de succès doit être constante dans toute observation faite.

- Le résultat de tout événement est indépendant de tout autre événement.

- La moyenne de la distribution binomiale est n.p

- L'écart type est:

Les exemples précédents remplissent ces conditions, bien qu'il y ait certaines restrictions à appliquer.

Exemple d'application

Prenons un événement simple, qui peut être pour obtenir 2 faces 5 en lançant des dés honnêtes 3 fois. Quelles sont les probabilités qui, dans 3 lancements, 2 faces de 5 sont obtenues?

Il existe plusieurs façons d'y parvenir, par exemple:

- Les deux premières versions sont 5 et le dernier pas.

- Le premier et le dernier sont 5 mais pas celui du médium.

- Les deux derniers lancements sont 5 et le premier ne fait pas.

Prenez comme exemple la première séquence décrite et calculez sa probabilité d'occurrence. La probabilité d'obtenir un visage 5 lors du premier lancement est de 1/6, et aussi dans la seconde, car ce sont des événements indépendants.

La probabilité d'obtenir une autre face de 5 dans le dernier lancement est de 1 - 1/6 = 5/6. Par conséquent, la probabilité que cette séquence sortira est le produit de probabilités:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Qu'en est-il des deux autres séquences? Ils ont une probabilité identique: 0.023.

Et comme nous avons un total de 3 séquences réussies, la probabilité totale sera:

P (2 faces 5 en 3 lancements) = nombre de séquences possibles x probabilité d'une séquence particulière = 3 x 0.023 = 0.069.

Essayons maintenant le binomial, dans lequel il est fait:

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x = 2 (obtenir 2 côtés de 5 en 3 lancements est le succès)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Exercices résolus

Il existe plusieurs façons de résoudre les exercices de distribution binomiale. Comme nous l'avons vu, le plus simple peut être résolu en disant combien de successions réussies existent, puis se multiplier par les probabilités respectives.

Cependant, lorsqu'il existe de nombreuses options, les chiffres deviennent plus grands et il est préférable d'utiliser la formule.

Et si les chiffres sont encore plus élevés, il y a des garçons de la distribution binomiale. Cependant, à l'heure actuelle, ils sont devenus obsolètes en faveur des nombreux types de calculatrices qui facilitent le calcul.

Exercice 1

Un couple a des enfants avec une probabilité de 0,25 pour avoir du sang du type ou. Le couple a un total de 5 enfants. Réponse: a) Cette situation correspond-elle à une distribution binomiale?, b) Quelle est la probabilité que exactement 2 d'entre eux soient du type ou?

Solution

a) La distribution binomiale est ajustée, car elle remplit les conditions établies dans les sections précédentes. Il existe deux options: avoir du sang ou du "succès", tout en ne pas avoir de "défaillance", et toutes les observations sont indépendantes.

b) Vous avez la distribution binomiale:

Dans lequel les valeurs suivantes sont remplacées:

x = 2 (obtenir 2 enfants avec du sang de type O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Exemple 2

Une université déclare que 80% des étudiants appartenant à l'équipe de basket-ball universitaire. Une enquête examine le dossier académique de 20 étudiants appartenant à ladite équipe de basket-ball qui s'est inscrite à l'université il y a longtemps.

Sur ces 20 étudiants, 11 ont terminé la course et 9 ont quitté les études.

Figure 2. Presque tous les étudiants qui jouent pour l'équipe universitaire parviennent à obtenir leur diplôme. Source: Pixabay.

Si la déclaration de l'université est vraie, le nombre d'étudiants qui jouent au basket-ball et qui parviennent à obtenir leur diplôme, entre 20, devraient avoir une distribution binomiale avec N = 20 et P = 0,8. Quelle est la probabilité que 11 des 20 joueurs obtiennent leur diplôme?

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Solution

Dans la distribution binomiale:

Les valeurs suivantes doivent être remplacées:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Exemple 3

Les chercheurs ont mené une étude pour déterminer s'il y avait des différences significatives dans les taux de diplomation chez les étudiants en médecine admis par le biais de programmes spéciaux et d'étudiants en médecine admis par les critères d'admission réguliers.

Il a été constaté que le taux de diplomation était de 94% pour les étudiants admis par le biais de programmes spéciaux (sur la base des données des données de la Journal de l'American Medical Association).

Si 10 des étudiants des programmes spéciaux sont sélectionnés au hasard, trouvez la probabilité qu'au moins 9 d'entre eux obtiennent leur diplôme.

b) serait-ce inhabituel en sélectionnant au hasard 10 étudiants dans les programmes spéciaux et obtenant que seulement 7 d'entre eux ont obtenu leur diplôme?

Solution

La probabilité qu'un étudiant ait admis par le biais d'un programme spécial diplômé est de 94/100 = 0.94. Ils sont choisis N = 10 étudiants des programmes spéciaux et vous souhaitez découvrir la probabilité qu'au moins 9 d'entre eux obtiennent leur diplôme.

Les valeurs suivantes sont remplacées dans la distribution binomiale:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06C'est la probabilité que exactement 9 soit diplômé, mais ils pourraient également diplômés exactement 10:

 P (au moins 9 diplômés) = p (9) + p (10) = 0.3439 + 0.5386 = 0.8825

b)
Oui c'est inhabituel, car la probabilité obtenue est assez petite.

Les références

1. Berenson, M. 1985. Statistiques pour l'administration et l'économie. Inter-américain s.POUR.
2. Mathématiques. Distribution binomiale. Récupéré de: est.Mathématiques.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistiques pour l'administration et l'économie. 3e. édition. Groupe éditorial IberoAmerica.
4. Moore, D. 2005. Statistiques de base appliquées. 2e. Édition.
5. Triola, m. 2012. Statistiques élémentaires. 11ème. Élégant. Pearson Education.
6. Wikipédia. Distribution binomiale. Récupéré de: est.Wikipédia.org