Dérivés successifs

Quels sont les dérivés successifs?

Le dérivés successifs Ils sont ceux dérivés d'une fonction après le deuxième dérivé. Le processus de calcul des dérivés successifs est le suivant: il existe une fonction F, que nous pouvons dériver et obtenir la fonction dérivée f '. À ce dérivé de f, nous pouvons le dériver à nouveau, obtenant (f ')'.

Cette nouvelle fonction est appelée deuxième dérivée; Tous les dérivés calculés à partir de la seconde sont successifs; Ceux-ci, également appelés d'un ordre supérieur, ont de grandes applications, telles que donner des informations sur la trait du graphique d'une fonction, le test du deuxième dérivé aux fins relatives et la détermination des séries infinies.

Définition

En utilisant la notation de Leibniz, nous avons que la dérivée d'une fonction «y» par rapport à «x» est dy / dx. Pour exprimer au deuxième dérivé de "Y" en utilisant la notation de Leibniz, nous écrivons comme suit:

En général, nous pouvons exprimer des dérivés successifs comme suit avec la notation de Leibniz, où n représente l'ordre du dérivé.

Les autres notations utilisées sont les suivantes:

Quelques exemples où nous pouvons voir les différentes notations sont:

Exemple 1

Obtenez tous les dérivés de la fonction F définis par:

En utilisant les techniques de référence habituelles, nous avons que le F est:

Répéter le processus, nous pouvons obtenir le deuxième dérivé, le troisième dérivé et ainsi de suite.

Notez que le quatrième dérivé est nul et que le dérivé zéro est nul, nous devons donc:

Exemple 2

Calculez le quatrième dérivé de la fonction suivante:

Dérivant la fonction donnée que nous avons en conséquence:

Vitesse et accélération

L'une des motivations qui ont conduit à la découverte du dérivé a été la recherche de la définition de la vitesse instantanée. La définition formelle est la suivante:

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Soit y = f (t) une fonction dont le graphique décrit la trajectoire d'une particule en un instant t, Ensuite, sa vitesse à un instant T est donnée par:

Une fois la vitesse d'une particule obtenue, nous pouvons calculer une accélération instantanée, qui est définie comme suit:

L'accélération instantanée d'une particule dont la trajectoire est donnée par y = f (t) est:

Exemple 1

Une particule se déplace sur une ligne en fonction de la fonction de position:

Où "y" est mesuré en mètres et "t" en quelques secondes.

• À quel moment ta vitesse est 0?
• À quel moment son accélération est 0?

En dérivant la fonction de position «y», nous avons que sa vitesse et son accélération sont données respectivement par:

Afin de répondre à la première question, il suffit de déterminer quand la fonction V est nul; c'est:

Nous procédons à la question suivante analogue:

Exemple 2

Une particule se déplace sur une ligne selon l'équation de mouvement suivante:

Déterminer "t, y" et "v" lorsque a = 0.

Sachant que la vitesse et l'accélération sont données par

Nous procédons à dériver et à obtenir:

Faire a = 0, nous avons:

Où nous pouvons déduire que la valeur de t pour que A soit égale à zéro est t = 1.

Ensuite, en évaluant en t = 1 la fonction de position et de fonction, nous devons:

Applications

Dérivation de mplícita

Les dérivés successifs peuvent également être obtenus par dérivation implicite.

Exemple

Compte tenu de l'ellipse suivante, trouvez "y":

Dérivant implicitement par rapport à x, nous avons:

Ensuite, re -deriving implicitement par rapport à X, nous donne:

Enfin, nous avons:

Extrêmes relatifs

Une autre utilisation que nous pouvons donner aux dérivés du deuxième ordre est le calcul des extrémités relatives d'une fonction.

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Les critères de la première dérivée pour les extrêmes locaux nous disent que si nous avons une fonction F continue dans un intervalle (A, B) et qu'il y a un C qui appartient à ce intervalle tel qu'il est annulé en C (c'est-à-dire que C est un point critique), l'un de ces trois cas peut se produire:

• Si f '(x)> 0 pour tout x appartenant à (a, c) et f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
• Si f '(x) 0 pour x appartenant à (c, b), alors f (c) est un minimum local.
• Si f '(x) a le même signe en (a, c) et en (c, b), cela implique que f (c) n'est pas une fin locale.

En utilisant les critères du deuxième dérivé, nous pouvons savoir si un nombre critique d'une fonction est un minimum maximum ou local, sans avoir à faire quel est le signe de la fonction aux intervalles susmentionnés.

Le critère de la deuxième dérive nous dit que si f '(c) = 0 et que f "(x) est continu en (a, b), cela se produit si f" (c)> 0 alors f (c) est un Minimum local et si f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Si f "(c) = 0, nous ne pouvons rien conclure.

Exemple

Étant donné la fonction f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², Trouvez le relatif maximum et minimum de F en appliquant les critères du deuxième dérivé.

Nous calculons d'abord f '(x) et f "(x) et nous avons:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Maintenant, f '(x) = 0 oui, et seulement si 4x (x + 2) (x - 1) = 0, et cela se produit lorsque x = 0, x = 1 ou x = - 2.

Pour déterminer si les nombres critiques obtenus sont des extrêmes relatifs, évaluez simplement en f "et observez ainsi son signe.

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f "(0) = - 8, donc f (0) est un maximum local.

f "(1) = 12, donc f (1) est un minimum local.

f "(- 2) = 24, donc f (- 2) est un minimum local.

Série Taylor

Être f une fonction définie comme suit:

Cette fonction a un rayon de convergence r> 0 et a dérivé de tous les ordres en (-r, r). Les dérivés successifs de f nous donnent:

Prenant x = 0, nous pouvons obtenir les valeurs de C_n Selon ses dérivés comme suit:

Si nous prenons n = 0 comme fonction f (c'est-à-dire f ^ 0 = f), alors nous pouvons réécrire la fonction comme suit:

Considérons maintenant la fonction comme une série de pouvoirs à x = a:

Si nous effectuons une analyse analogue à la précédente, nous devions écrire la fonction f comme:

Ces séries sont connues sous le nom de Taylor F dans une série. Lorsque A = 0, nous avons le cas particulier appelé série Maclaurin. Ce type de série est d'une grande importance mathématique, en particulier dans l'analyse numérique, car grâce à ceux-ci, nous pouvons définir des fonctions dans des ordinateurs tels que E^X , sin (x) et cos (x).

Exemple

Obtenez la série Maclaurin pour E^X.

Notez que si f (x) = e^X, puis f^(N)(x) = e^X et f^(N)(0) = 1, donc votre série Maclaurin est: