Dérivé du calcul de la cotangente, de la démonstration, des exercices

La Cotangent dérivé Il est égal à l'opposé du carré de la récolte «-csc²". Cette formule est due à des lois dérivées par définition et à la différenciation des fonctions trigonométriques. Il est indiqué comme suit:

D (ctg u) = -csc² ou . du

Où "du" symbolise l'expression dérivée de la fonction d'argument, par rapport à la variable indépendante.

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Comment est-il calculé?

La procédure de développement de ces dérivés est assez simple. Identifiez simplement l'argument et le type de fonction qu'il représente.

Par exemple, l'expression CTG (F / G) présente une division dans son argument. Cela aura besoin d'une différenciation concernant U / V, après avoir développé le zip.

La cotangente est la fonction réciproque de la tangente. Algébriquement cela signifie que:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = cos x / sen x

Il est incorrect de dire que la fonction cotangente est «l'inverse» de la tangente. En effet, la fonction inverse de la tangente par définition est l'arc tangent.

(Tg^-1 x) = arctg x

Selon la trigonométrie Pythagore, le cotangent est impliqué dans les sections suivantes:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

CTG² X + 1 = csc² X

Selon l'analyse, la trigonométrie répond aux identités suivantes:

Ctg (a + b) = (1 - tg a . Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a . Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg² a) / (2tg a)

Caractéristiques de la fonction cotangente

Il est nécessaire d'analyser diverses caractéristiques de la fonction f (x) = ctg x pour pouvoir définir les aspects nécessaires pour étudier sa différenciation et son application.

Asymptotes verticaux

La fonction cotangente n'est pas définie dans les valeurs qui rendent l'expression "Senx" zéro. En raison de son CTG X = (cos x) / (sin x) équivalent, il aura une indétermination dans tous les «nπ» avec n appartenant aux entiers.

Il peut vous servir: géométrie analytique

C'est-à-dire que dans chacune de ces valeurs de x = nπ, il y aura une verticale asymptote. Comme la valeur des approches de la cotangente, et à l'approche de la droite, la fonction augmentera indéfiniment.

Domaine

Le domaine de la fonction cotangente est exprimé par l'ensemble x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z. Ceci est lu comme "x appartenant à l'ensemble des nombres réels tels que, x est différent de nπ, avec n appartenant à l'ensemble des nombres".

Gamme

Le rang de la fonction cotangente couvre de moins à plus d'infini. C'est pourquoi on peut conclure que son rang est l'ensemble des nombres N réels.

Fréquence

La fonction cotangente est périodique et sa période est égale à π. De cette façon, l'égalité CTG x = CTG (x + nπ) est remplie, où n appartient à z.

Comportement

C'est une fonction étrange, puisque CTG (-X) = - CTG X. De cette façon, il est connu que la fonction présente une symétrie par rapport à l'origine coordonnée. Il présente également une diminution de chaque intervalle situé entre 2 asymptotes verticaux successifs.

Il n'a pas de valeurs maximales ou minimales, car leurs approches des asymptotes verticales ont des comportements où la fonction augmente ou diminue indéfiniment.

Les zéros ou les racines de la fonction cotangente se trouvent dans les multiples impairs de π / 2. Cela signifie que ctg x = 0 est rempli dans les valeurs de la forme x = nπ / 2 avec une totalité.

Manifestation

Il existe 2 façons de démontrer la dérivée de la fonction cotangente.

Démonstration différentielle trigonométrique

Le dérivé de la fonction cotangente est démontré à partir de son équivalent dans les seins et les cosenos.

Peut vous servir: algèbre booléenne: histoire, théorèmes et postulats, exemples

Il s'agit du dérivé d'une division Function

Après avoir dérivé les facteurs qui sont regroupés et les identités pythagoriennes sont cherchées à imiter

Remplacer les identités et appliquer la réciprocité l'expression est obtenue

Définition de la définition dérivée

L'expression suivante correspond à la dérivée par définition. Où la distance entre 2 points de la fonction approche zéro.

Remplacement de la cotangente que vous devez:

Les identités s'appliquent à la somme des arguments et de la réciprocité

La fraction du numérateur est exploitée traditionnellement

L'élimination des éléments opposés et le dessin de facteur commun sont obtenus

Application des identités pythagoriennes et réciprocité

Les éléments évalués en x sont constants par rapport à la limite, donc ils peuvent quitter l'argument de cela. Puis des limites trigonométriques sont appliquées.

La limite est évaluée

Ensuite, il est tenu en tenant jusqu'à atteindre la valeur souhaitée

Ceci est démontré par le dérivé de Cotangente comme l'opposé du carré de la moissonneuse.

Exercices résolus

Exercice 1

Selon la fonction f (x), définissez l'expression f '(x)

La dérivation correspondante est appliquée en respectant la règle de la chaîne

Dériver l'argument

Parfois, il est nécessaire d'appliquer des identités réciproques ou trigonométriques pour adapter les solutions.

Exercice 2

Définir l'expression différentielle correspondant à f (x)

Selon la formule de dérivation et le respect de la règle de la chaîne

L'argument est dérivé, tandis que le reste reste le même

Dériver tous les éléments

Opérant de manière traditionnelle les produits de la même base

Les mêmes éléments sont ajoutés et le facteur commun est extrait

Les panneaux sont simplifiés et opérés. Faire la place à l'expression complètement dérivée

Peut vous servir: différence entre une fraction commune et un nombre décimal

Les références

1. Série trigonométrique, volume 1. POUR. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Calcul d'une seule variable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre. 2008
3. Calcul avec trigonométrie et géométrie analytique. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. SAXON Publishers, 1988
4. Analyse multivariée. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 décembre. 2010
5. Dynamique du système: modélisation, simulation et contrôle des systèmes mécatroniques. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mars. 2012
6. Calcul: mathématiques et modélisation. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1er janvier. 1999