Propriétés de l'ensemble fini, exemples, exercices résolus

Il est compris par Ensemble fini tous définis avec un nombre comptable ou comptable d'éléments. Des exemples d'ensembles finis sont les billes qui sont contenues dans un sac, l'ensemble de maisons dans un quartier ou l'ensemble P Formé par les vingt (20) nombres naturels:

P = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 

L'ensemble des étoiles d'univers est sûrement immense, mais on ne sait pas avec certitude s'il est fini ou infini. Cependant, l'ensemble des planètes du système solaire est fini.

Figure 1. L'ensemble des polygones est fini et le sous-ensemble des caisses régulières. (Wikimedia Commons)

Le nombre d'éléments d'un ensemble fini est appelé sa cardinalité et pour l'ensemble P Il est indiqué comme ceci: carte (P) soit #P. L'ensemble vide n'a aucune cardinalité et est considéré comme un ensemble fini.

[TOC]

Propriétés

Parmi les propriétés des ensembles finis sont les suivants:

1- L'union des ensembles finis entraîne un nouvel ensemble fini.

2- Si deux ensembles finis interceptés, c'est un nouvel ensemble fini.

3- Un sous-ensemble d'un ensemble fini est fini et sa cardinalité est inférieure ou égale à celle de l'ensemble d'origine.

4- L'ensemble vide est un ensemble fini.

Exemples

Il existe de nombreux exemples d'ensembles finis. Parmi certains exemples, il y a les suivants:

Ensemble M des mois de l'année, qui peuvent être étendus comme suit:

M = Janvier, février, mars, avril, mai, juin, juillet, août, septembre, octobre, novembre, décembre, la cardinalité de m est 12.

Ensemble S des jours de la semaine: S = Lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche. La cardinalité de S est 7.

Peut vous servir: Relations de proportionnalité: concept, exemples et exercices

Ensemble Ñ D'après les lettres de l'alphabet espagnol, c'est un ensemble fini, cet ensemble par extension est écrit comme ceci:

Ñ = A, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, W, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, W, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, x, y, z et its La cardinalité est 27.

Ensemble V Depuis les voyelles en espagnol, c'est un sous-ensemble de l'ensemble ñ:

V ⊂ Ñ C'est donc un ensemble fini.

L'ensemble fini V La manière étendue, il est écrit comme ceci: V = a, e, i, o, u et sa cardinalité est 5.

Les ensembles peuvent être exprimés par la compréhension. Ensemble F Composé des lettres du mot "fini" est un exemple:

F = x / x est une lettre du mot "fini"

Cet ensemble exprimé sera largement:

F = f, i, n, t, o dont la cardinalité est 5 et c'est donc un ensemble fini.

Plus d'exemples

Les couleurs de l'arc-en-ciel sont un autre exemple de jeu fini, l'ensemble C De ces couleurs est:

C = rouge, orange, jaune, vert, cyan, bleu, violet et sa cardinalité est 7.

L'ensemble des phases F De la lune est un autre exemple de jeu fini:

F = Nouvelle lune, salle de croissance, pleine lune, salle décroissante Cet ensemble a la cardinalité 4.

Figure 2. Les planètes du système solaire forment un ensemble fini. (Pixabay)

Un autre ensemble fini est celui formé par les planètes du système solaire:

P = Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, Pluton Cardinalité 9.

Exercices résolus

Exercice 1

L'ensemble suivant est donné a = x∊ r / x ^ 3 = 27. L'exprimer avec des mots et l'écrire par extension, indiquer sa cardinalité et dire si elle est finie ou non.

Peut vous servir: ellipse

Solution: Le jeu A est l'ensemble des nombres réels x tels que X élevé sur le cube en conséquence 27.

L'équation x ^ 3 = 27 a trois solutions: qui sont x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) et x3 = (-3 / 2-3√3 / 2 i). Des trois solutions, seule x1 est réelle, tandis que les deux autres sont des nombres complexes.

Comme la définition de l'ensemble A dit que X appartient à des nombres réels, les solutions en nombre complexes ne font pas partie de l'ensemble pour.

L'ensemble étendu est:

A = 3, qui est un ensemble fini de cardinalité 1.

Exercice 2

Écrivez symboliquement (par compréhension) et largement l'ensemble B des nombres réels qui sont supérieurs à 0 (zéro) et moins ou égaux à 0 (zéro). Indiquez votre cardinalité et si elle est finie ou non.

Solution: B = x∊ r / 0 < x <= 0

Le jeu B est vide car un nombre réel x ne peut pas être simultanément supérieur et inférieur à zéro, ainsi que 0 et aussi moins de 0.

B = et sa cardinalité est 0. L'ensemble vide est un ensemble fini.

Exercice 3

L'ensemble s des solutions d'une certaine équation est donné. L'ensemble par compréhension est écrit comme ceci:

S = x∊ r / (x -3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Écrivez cet ensemble largement, indiquez votre cardinalité et indiquez s'il s'agit ou non d'un ensemble fini.

Solution: Premièrement, en analysant l'expression qui décrit les ensembles S, il est obtenu qu'il s'agit d'un ensemble de valeurs X réelles qui sont des solutions de l'équation:

(x -3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Une solution de cette équation est x = 3, qui est un nombre réel et appartient donc à S. Mais il y a plus de solutions qui peuvent être obtenues à la recherche des solutions de l'équation quadratique:

Peut vous servir: distribution f: caractéristiques et exercices résolus

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

L'expression précédente peut être facturée comme suit:

(x - 4) (x - 5) = 0

Ce qui nous amène à deux autres solutions de l'équation (*) d'origine qui sont x = 4 et x = 5. En bref, l'équation (*) a des solutions 3, 4 et 5.

L'ensemble S exprimé est beaucoup comme ceci:

S = 3, 4, 5, qui a la cardinalité 3 et est donc un ensemble fini.

Exercice 4

Il y a deux ensembles a = 1, 5, 7, 9, 11 et b = x ∊ n / x est par ^ x x < 10 .

Écrivez explicitement l'ensemble B et trouvez le syndicat avec l'ensemble. Trouvez également l'interception de ces deux ensembles et concluez.

Solution: L'ensemble B est composé de nombres naturels de telle sorte qu'ils sont même et également inférieurs à la valeur 10, donc ensemble B est largement écrit comme suit:

B = 2, 4, 6, 8

L'union de l'ensemble A avec l'ensemble B est:

A u b = 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11

Et l'interception de l'ensemble A avec l'ensemble B est écrite comme ceci:

A ⋂ b = = Ø est l'ensemble vide. 

Il convient de noter que l'union et l'interception de ces deux ensembles finis conduisent à de nouveaux sets, qui à leur tour sont également finis.

Les références

1. Sources, un. (2016). Mathématiques de base. Une introduction au calcul. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
3. Haeussler, e. F., & Paul, R. S. (2003). Mathématiques pour l'administration et l'économie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Mathématiques 1 sept. Seuil.
5. Précieux, c. T. (2005). Cours de mathématiques 3O. Progreso éditorial.
6. Mathématiques 10 (2018). "Exemples d'ensembles finis". Récupéré de: Mathematics10.filet
7. Rock n. M. (2006). Algèbre I est facile! Si facile. Presse de rock team.
8. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.
9. Wikipédia. Ensemble fini. Récupéré de: est.Wikipédia.com