Composants rectangulaires d'un vecteur (avec des exercices)

Le composants rectangulaires d'un vecteur sont les données qui composent ce vecteur. Pour les déterminer, il est nécessaire d'avoir un système de coordonnées, qui est généralement le plan cartésien.

Une fois que vous avez un vecteur dans un système de coordonnées, ses composants peuvent être calculés. Ce sont 2, un composant horizontal (parallèle à l'axe x), appelé «composant dans l'axe x», et un composant vertical (parallèle à l'axe y), appelé «composant dans l'axe y» ».

Représentation graphique des composants rectangulaires d'un vecteur

Afin de déterminer les composants, c'est nécessaire.

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Comment déterminer les composants rectangulaires d'un vecteur?

Pour déterminer ces composants, certaines relations entre les rectangles et les fonctions trigonométriques doivent être connues.

Dans l'image suivante, vous pouvez voir cette relation.

Relations entre les rectangles et les fonctions trigonométriques

Le sein d'un angle est égal au quotient entre la mesure du cateto opposé à l'angle et à la mesure de l'hypoténuse.

D'un autre côté, le cosinus d'un angle est égal au quotient entre la mesure du cateto adjacent à l'angle et à la mesure de l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est égale au quotient entre la mesure de la jambe opposée et la mesure du cateto adjacent.

Dans toutes ces relations, il est nécessaire d'établir le triangle rectangulaire correspondant.

Y a-t-il d'autres méthodes?

Ouais. Selon les données fournies, le moyen de calculer les composants rectangulaires d'un vecteur peut varier. Un autre outil qui est utilisé beaucoup est le théorème de Pythagore.

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Exercices résolus

Les exercices suivants mettent en pratique la définition des composantes rectangulaires d'un vecteur et les relations décrites ci-dessus.

Premier exercice

Il est connu qu'un vecteur A a une magnitude égale à 12 et l'angle que cette forme avec l'axe x a une mesure de 30 °. Déterminer les composants rectangulaires dudit vecteur à.

Solution

Si l'image est appréciée et que les formules décrites ci-dessus sont utilisées, on peut conclure que le composant dans le et le vecteur a est égal à

sin (30 °) = Vy / 12, et donc Vy = 12 * (1/2) = 6.

D'un autre côté, le composant de l'axe x du vecteur a est égal à

cos (30 °) = vx / 12, et donc vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Deuxième exercice

Si le vecteur A a une ampleur égale à 5 et que le composant sur l'axe x est égal à 4, déterminez la valeur du composant A sur l'axe y.

Solution

En utilisant le théorème de Pythagore, l'ampleur du vecteur d'un haut carré doit être égale à la somme des carrés des deux composants rectangulaires. C'est-à-dire m² = (vx) ² + (vy) ².

Remplacement des valeurs fournies, vous devez

5² = (4) ² + (Vy) ², donc, 25 = 16 + (Vy) ².

Cela implique que (vy) ² = 9 et par conséquent Vy = 3.

Troisième exercice

Si le vecteur A a une ampleur égale à 4 et que cela forme un angle de 45 ° avec l'axe x, déterminez les composants rectangulaires dudit vecteur.

Solution

En utilisant les relations entre un triangle rectangle et des fonctions trigonométriques, on peut conclure que le composant sur le et le vecteur a est égal à

sin (45 °) = Vy / 4, et donc Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

D'un autre côté, le composant de l'axe x du vecteur a est égal à

Peut vous servir: succession composée

cos (45 °) = vx / 4, et donc vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Les références

1. Landaverde, F. D. (1997). Géométrie (Réimpression Ed.). Progrès.
2. Leake, D. (2006). Triangles (Illustré Ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Précalation. Pearson Education.
4. Ruiz, á., & Barrantes, H. (2006). Géométries. CR technologique.
5. Sullivan, m. (1997). Précalation. Pearson Education.
6. Sullivan, m. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.