Chocs élastiques dans une dimension, cas spéciaux, exercices
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- Paul Dumas
Les chocs élastiques o Les collisions élastiques consistent en des interactions brèves mais intenses entre les objets, dans lesquels la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sont préservées. Les Choques sont des événements très fréquents dans la nature: des particules subatomiques aux galaxies, passant par des balles de billard et des voitures de choc dans les parcs d'attraction, tous sont des objets capables de collision.
Pendant une collision ou un choc, les forces d'interaction entre les objets sont très intenses, bien plus que celles qui peuvent agir à l'extérieur. De cette façon, on peut affirmer que pendant la collision, les particules forment un système isolé.
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Dans ce cas, il est réalisé que:
Où P C'est la quantité vectorielle de mouvement, dont l'ampleur est Mv (Speed Mass). Si le dérivé de P est nul, cela signifie que P C'est constant. Et cela signifie qu'il ne varie pas, qu'il est conservé. Par conséquent, nous pouvons affirmer que:
Psoit = PF
La quantité de mouvement Psoit avant la collision est la même qu'après collision. Ceci est rempli pour toute collision de type, à la fois élastique et inélastique.
Vous devez maintenant considérer ce qui suit: Pendant une collision, les objets éprouvent une certaine déformation. Lorsque le choc est élastique, les objets retrouvent rapidement leur forme d'origine.
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Conservation de l'énergie cinétique
Normalement, lors d'un choc, une partie de l'énergie des objets est dépensée dans la chaleur, la déformation, le son et parfois même pour produire de la lumière. L'énergie cinétique du système après la collision est donc inférieure à l'énergie cinétique d'origine.
Lorsque l'énergie cinétique K, elle est alors conservée:
Ksoit = KF
Ce qui signifie que les forces agissant pendant la collision sont conservatrices. Alors que la collision dure l'énergie cinétique est brièvement transformée en énergie potentielle, puis c'est une énergie cinétique à nouveau. Les énergies cinétiques respectives varient, mais la somme reste constante.
Les collisions parfaitement élastiques ne sont pas fréquentes, bien que les balles de billard soient une assez bonne approche, ainsi que des collisions qui se déroulent entre les molécules de gaz idéales.
Chocs élastiques dans une dimension
Examinons une collision de deux particules de cela dans une seule dimension; C'est-à-dire que les particules qui interagissent se déplacent, par exemple, le long de l'axe x. Supposons qu'ils aient des masses m1 et m2. Les vitesses initiales de chacun sont ou1 et ou2 respectivement. Les vitesses finales sont V1 et V2.
Nous pouvons nous passer de la notation vectorielle, car le mouvement est effectué le long de l'axe x, cependant, les signes (-) et (+) indiquent la signification du mouvement. À gauche est négatif et à droite positive, par convention.
Peut vous servir: réseaux bravais: concept, caractéristiques, exemples, exercices-Formules pour les collisions élastiques
Pour la quantité de mouvement
m1ou1 + m2ou2 = m1V1 + m2V2
Pour l'énergie cinétique
½ m1ou21 + ½ m2ou22 = ½ m1V21 + ½ m2V22
Chaque fois que les masses et les vitesses initiales sont connues, il est possible de regrouper les équations pour trouver les vitesses finales.
Le problème est qu'en principe, c'est nécessaire. L'idéal serait de trouver des expressions qui ne les contiennent pas.
La première est de se passer du facteur ½ et de réorganiser les deux équations de telle manière qu'un signe négatif apparaît et que les masses peuvent être facteurs:
m1ou1 - m1V1 = M2V2 - m2ou2
m1ou21 - m1V21 = + M2V22 - m2ou22
Exprimé de cette manière:
m1(ou1 - V1 ) = m2(V2 - ou2)
m1(ou21 - V21 ) = m2 (V22 - ou22)
Simplification pour éliminer les carrés des vitesses
Maintenant, vous devez utiliser le produit notable, il ajoute à sa différence dans la deuxième équation, qui obtient une expression qui ne contient pas les carrés, comme à l'origine recherché:
m1(ou1 - V1 ) = m2(V2 - ou2)
m1(ou1 - V1 ) (ou1 + V1 ) = m2 (V2 - ou2) (V2 + ou2)
L'étape suivante consiste à remplacer la première équation dans la seconde:
m2(V2 - ou2) (ou1 + V1 ) = m2 (V2 - ou2) (V2 + ou2)
Et quand le terme est répété m2(V2 - ou2) Des deux côtés de l'égalité, ce terme est annulé et est comme ceci:
(ou1 + V1) = (V2 + ou2)
Ou encore mieux:
ou1 - ou2= V2 - V1
Vitesses finales V1 et V2 des particules
Maintenant, il y a deux équations linéaires avec lesquelles il est plus facile de travailler. Nous les replacerons en dessous de l'autre:
m1ou1 + m2ou2 = m1V1 + m2V2
ou1 - ou2= V2 - V1
Multiplier la deuxième équation par m1 Et l'ajout de terme à des restes de terme:
m1ou1 + m2ou2 = m1V1 + m2V2
m1ou1 - m1ou2= m1V2 - m1 V1
-
2 m1ou1 + (m2 - m1) ou2 = (m2 + m1) V2
Et il est déjà possible de dégager V2. Par exemple:
Un traitement similaire peut être effectué pour trouver une équation pour V1. Le lecteur est laissé comme un exercice pour démontrer que:
Cas spéciaux dans les collisions élastiques
Maintenant que les équations sont disponibles pour les vitesses finales des deux particules, il est temps d'analyser certaines situations spéciales.
Deux masses identiques
Dans ce cas m1 = m2 = m et:
V1 = u2
V2 = u1
Les particules échangent simplement leurs vitesses après collision.
Deux masses identiques, dont l'une était initialement au repos
De nouveau m1 = m2 = m et en supposant que ou1 = 0:
V1 = u2
V2 = 0
Après l'accident, la particule qui était au repos acquiert la même vitesse de la particule qui se déplaçait, et elle s'arrête à son tour.
Peut vous servir: pression hydrauliqueDeux masses différentes, l'une d'entre elles initialement au repos
Dans ce cas, supposons ou1 = 0, Mais les masses sont différentes:
Et qu'est-ce qui se passerait si m1 est beaucoup plus grand que m2?
Il arrive que m1 Rester au repos et m2 Il est retourné avec la même vitesse avec laquelle il a eu un impact.
Coefficient ou règle de restitution de Huygens-Newton
Auparavant, la relation suivante entre les vitesses de deux objets en collision élastique a été déduite: ou1 - ou2 = V2 - V1. Ces différences sont les vitesses relatives avant et après la collision. En général, pour une collision, il est réalisé que:
ou1 - ou2 = - (V1 - V2)
Le concept de vitesse relative est mieux apprécié si le lecteur imagine qu'il se trouve sur l'une des particules et de cette position observe la vitesse à laquelle l'autre particule se déplace. L'équation précédente est réécrite comme ceci:
Si l'énergie cinétique n'est pas conservée, alors le quotient indiqué sera inférieur à 1. Appelons et à la valeur dudit quotient sans dimension:
Ou bien:
La valeur de et est entre 0 et 1 et est appelé coefficient de restitution. Lorsque le choc est élastique, E = 1. Lorsqu'il est totalement inélastique, E = 0, alors que s'il a une autre valeur intermédiaire, une certaine énergie cinétique s'est dispersée dans d'autres types d'énergie.
Exercices résolus
-Exercice résolu 1
Une balle de billard se déplace vers la gauche à 30 cm / s, entrant en collision avec une autre balle identique qui se déplace vers la droite à 20 cm / s. Les deux balles ont la même pâte et l'accident est parfaitement élastique. Trouvez la vitesse de chaque balle après impact.
Solution
ou1 = -30 cm / s
ou2 = +20 cm / s
C'est le cas particulier que deux masses identiques entrent en collision dans une dimension élastique, donc les vitesses sont échangées.
V1 = +20 cm / s
V2 = -30 cm / s
-Exercice résolu 2
Le coefficient de restitution d'une balle qui rebondit sur le sol est égal à 0,82. Si vous tombez du repos, quelle fraction de votre hauteur d'origine atteindra le ballon après avoir rebondi une fois? Et après 3 rebonds?
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Solution
Le sol peut être objet 1 dans l'équation du coefficient de restitution. Et c'est toujours au repos, de sorte que:
La direction négative est choisie et le positif. La vitesse d'un objet qui est librement libéré d'une certaine hauteur Hsoit est:
Le signe (-) indique que la balle descend:
Avec cette vitesse rebondissant:
Le signe + indique qu'il s'agit d'une vitesse ascendante. Et selon lui, la balle atteint une hauteur maximale de:
Maintenant, il revient à nouveau au sol avec une vitesse de la même ampleur, mais le signe opposé:
Et rebondit avec:
Cela atteint une hauteur maximale de:
Rendez-vous à nouveau sur le sol avec:
Rebonds successifs
Chaque fois que la balle rebondit et monte, vous devez multiplier à nouveau la vitesse par 0.82:
Et atteint une hauteur maximale déterminée par le carré de ladite vitesse:
À ce stade h3 est environ 30% de Hsoit. Quelle serait la hauteur à 6e rebonds sans avoir à faire des calculs aussi détaillés que les précédents?
Serieuse H6 = 0.8212 Hsoit = 0.092hsoit ou seulement 9% de Hsoit.
-Exercice résolu 3
Un bloc de 300 g se déplace vers le nord à 50 cm / s et s'affronte contre un bloc de 200 g dirigé vers le sud 100 cm / s. Supposons que le choc est parfaitement élastique. Trouvez les vitesses après impact.
Données
m1 = 300 g; ou1 = + 50 cm / s
m2 = 200 g; ou2 = -100 cm / s
-Exercice résolu 4
Une masse de m est libérée1 = 4 kg du point indiqué sur la piste sans frottement, jusqu'à ce qu'il entre en collision avec m2 = 10 kg au repos. À quelle hauteur est m1 Après la collision?
Solution
Puisqu'il n'y a pas de frottement, l'énergie mécanique est préservée pour trouver la vitesse ou1 avec quoi m1 impacts m2. L'énergie cinétique initialement est 0, puisque m1 partie du reste. Lorsqu'il se déplaçant sur la surface horizontale, il n'a pas de hauteur, donc l'énergie potentielle est 0.
Mgh = ½ mu1 2
ou2 = 0
Maintenant la vitesse de m1 Après la collision:
Le signe négatif signifie qu'il a été retourné. Avec cette vitesse, et l'énergie mécanique est à nouveau conservée pour trouver H ', La hauteur à laquelle il parvient à monter après l'accident:
½ mV12 = mgh '
Notez que vous ne revenez pas au point de départ à 8 m de hauteur. Il n'a pas assez d'énergie car il a donné une partie de son énergie cinétique la masse m1.
Les références
- Giancoli, D. 2006. Physique: principes avec applications. 6e. Ed Prentice Hall. 175-181
- Rex, un. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 135-155.
- SERAY, R., Vulle, c. 2011. Fondamentaux de la physique. 9n / A Cengage Learning. 172 -182
- Tipler, P. (2006) Physique de science et de technologie. 5e ed. Volume 1. Éditorial Revered. 217-238
- Tippens, P. 2011. Physique: concepts et applications. 7e édition. Colline de MacGraw. 185 -195
- « Troisième militarisme au Pérou, caractéristiques
- Structure secondaire des protéines caractéristiques »