Histoire historique de la géométrie analytique

Les Histoire historique de la géométrie analytique Ils remontent au XVIIe siècle, lorsque Pierre de Fermat et René Descartes ont défini leur idée fondamentale. Son invention a suivi la modernisation de l'algèbre et la notation algébrique de François Vière.

Ce domaine a ses bases dans la Grèce antique, en particulier dans les œuvres d'Apollonius et d'Euclid, qui ont eu une grande influence dans ce domaine des mathématiques.

L'idée essentielle derrière la géométrie analytique est qu'une relation entre deux variables, de sorte que l'une est une fonction de l'autre, définit une courbe. Cette idée a d'abord été développée par Pierre de Fermat. Grâce à ce cadre essentiel, Isaac Newton et Gottfried Leibniz pourraient développer le calcul.

Le philosophe français Descartes a également découvert une approche algébrique de la géométrie, apparemment seule. Le travail de Descartes sur la géométrie apparaît dans son célèbre livre Discours de méthode.

Ce livre souligne que la boussole et les constructions géométriques des bords droits impliquent la somme, la soustraction, la multiplication et les racines carrées.

La géométrie analytique représente l'union de deux traditions importantes en mathématiques: la géométrie telle que l'étude de la forme, et l'arithmétique et l'algèbre, qui ont à voir avec la quantité ou les nombres. Par conséquent, la géométrie analytique est l'étude du champ de géométrie à l'aide de systèmes de coordonnées.

Histoire

Contexte de la géométrie analytique

La relation entre la géométrie et l'algèbre a évolué tout au long de l'histoire des mathématiques, bien que la géométrie ait atteint un degré de maturité antérieur.

Euclide de Mégara

Par exemple, le mathématicien grec Euclid a pu organiser de nombreux résultats dans son livre classique Les éléments.

Mais c'est l'ancien Apollon grec de Perga qui a prédit le développement de la géométrie analytique dans son livre Conique. Il a défini un conique comme l'intersection entre un cône et un plan.

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En utilisant les résultats de l'euclide dans des triangles similaires et des cercles secs, il a trouvé une relation donnée par les distances de n'importe quel point "P" d'une ligne conique à deux lignes perpendiculaires, le principal axe d'un conique et de la tangente à un point final de l'axe. Apollonius a utilisé cette relation pour déduire les propriétés fondamentales des coniques.

Le développement ultérieur de systèmes de coordonnées en mathématiques n'a émergé qu'après que l'algèbre ait mûri grâce aux mathématiciens islamiques et indiens.

Jusqu'à la Renaissance, la géométrie a été utilisée pour justifier les solutions pour les problèmes algébriques, mais il n'y avait pas grand-chose que l'algèbre puisse contribuer à la géométrie.

Cette situation changerait avec l'adoption d'une notation pratique pour les relations algébriques et le développement du concept d'une fonction mathématique, qui était désormais possible.

Siècle xvi

À la fin du XVIe siècle, le mathématicien français François Vière a introduit la première notation algébrique systématique, en utilisant des lettres pour représenter des quantités numériques, à la fois connues et inconnues.

Il a également développé de puissantes méthodes générales pour travailler des expressions algébriques et résoudre les équations algébriques.

François Vière

Grâce à cela, les mathématiciens ne dépendaient pas complètement des figures géométriques et de l'intuition géométrique pour résoudre des problèmes.

Même certains mathématiciens ont commencé à abandonner la façon de penser géométrique standard, selon laquelle les variables linéaires linéaires et carrées correspondent aux zones, tandis que les cubiques correspondent à des volumes.

Le premier à faire cette étape a été le philosophe et mathématicien René Descartes, et l'avocat et mathématicien Pierre de Fermat.

Fondation de la géométrie analytique

Descartes et Fermat ont fondé indépendamment la géométrie analytique au cours des années 1630, adoptant l'algèbre de Vière pour l'étude du lieu géométrique.

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Ces mathématiciens ont réalisé que l'algèbre était un outil de grande puissance en géométrie et a inventé ce qui est maintenant connu sous le nom de géométrie analytique.

Une avancée qu'ils ont réalisée était de surmonter la vière lors de l'utilisation de lettres pour représenter des distances variables au lieu de fixe.

Descartes a utilisé des équations pour étudier les courbes définies géométriquement, et a souligné la nécessité de considérer les courbes générales algébriques -ographiques des équations polynomiales dans les grades "x" et "y".

Pierre de Fermat

Pour sa part, Fermat a souligné que toute relation entre la coordonnée "x" et "y" détermine une courbe.

En utilisant ces idées, il a restructuré les déclarations d'Apollonius sur les termes algébriques et a restauré certaines de ses œuvres qui ont été perdues.

Fermat a indiqué que toute équation quadratique en "x" et "y" peut être placée sous la forme standard de l'une des sections coniques. Malgré cela, Fermat n'a jamais publié son travail effectué sur le sujet.

Grâce à ses avancées, ce que Archimède ne pouvait résoudre qu'avec beaucoup de difficulté et pour les cas isolés, Fermat et Descartes pourraient le résoudre rapidement et pour un grand nombre de courbes (maintenant appelées courbes algébriques).

Mais ses idées n'ont acquis une acceptation générale que grâce aux efforts d'autres mathématiciens dans la dernière moitié du XVIIe siècle.

Les mathématiciens Frans Van Schooten, Florimond de Beaune et Johan de Witt ont aidé à étendre le travail de Decartes et à ajouter un matériel supplémentaire important.

Influence

En Angleterre, John Wallis a popularisé la géométrie analytique. Équations utilisées pour définir la conique et dériver leurs propriétés. Bien que j'aie utilisé des coordonnées négatives négativement, c'est Isaac Newton qui a utilisé deux axes obliques pour diviser l'avion en quatre quadrants.

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Newton et le Gottfried allemand Leibniz a révolutionné les mathématiques à la fin du XVIIe siècle en démontrant le pouvoir de calcul indépendamment.

Newton a démontré l'importance des méthodes analytiques en géométrie et leur rôle dans le calcul, lorsqu'il a déclaré que tout cube (ou toute courbe algébrique de troisième grade) a trois ou quatre équations standard pour les axes de coordonnées appropriés. Avec l'aide du même Newton, le mathématicien écossais John Stirling l'a essayé en 1717.

Géométrie analytique de trois dimensions et plus

Bien que Descartes et Fermat aient suggéré d'utiliser trois coordonnées pour étudier les courbes et les surfaces dans l'espace, la géométrie analytique à trois dimensions a été lentement développée jusqu'en 1730.

Leonhard Euler

Les mathématiciens d'Euler, Hermann et Claiaut ont produit des équations générales pour les cylindres, les cônes et les surfaces de révolution.

Par exemple, Euler a utilisé des équations pour des traductions dans l'espace pour transformer la surface quadratique générale, de sorte que ses axes principaux coïncidaient avec ses axes de coordonnées.

Euler, Joseph-Louis LaGrange et Gaspard Monge ont fait de la géométrie analytique indépendante de la géométrie synthétique (pas analytique).

Les références

1. Le développement de la géométrie analytique (2001). Récupéré de l'encyclopédie.com
2. HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE (2015). Récupéré de maa.org
3. Analyse (mathématiques). Récupéré de Britannica.com
4. Géométrie analytique. Récupéré de Britannica.com
5. Descartes et la naissance de la géométrie analytique. Récupéré de ScienceDirect.com