Caractéristiques triangles obliques, exemples, exercices

Les Triangles obliques Ce sont ceux qui n'ont pas d'angle droit, donc aucun de leurs angles internes n'est égal à 90º. Ainsi, un triangle oblique peut être Acutangle ou obtus.

Dans le premier cas, les angles internes du triangle sont aigus ou ce qui est le même: moins de 90º, tandis que dans le second, il y a toujours un angle supérieur à 90 °, c'est-à-dire un angle obtus. Regardons un exemple de chacun dans la figure suivante:

Figure 1. Triangles obliques: à gauche un triangle oblique et acutangle. À droite un triangle oblique et obtus. Source: F. Zapata.

Pour trouver les longueurs des côtés et les mesures des angles internes de ce type de triangles, en l'absence d'angles droits, il n'est pas possible d'appliquer le théorème de Pythagore.

Cependant, il existe des alternatives pour résoudre le triangle: les théorèmes du cosinus et du sein et le fait que la somme des angles internes est égale à 180º.

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Exemples de triangles oblicuágulos

En nous guidant par la figure 1, nous pouvons facilement reconnaître les triangles obliques à travers deux critères que nous donnerons ci-dessous.

Triangle Acutangle

Être le triangle des côtés a, b et c, avec α l'angle devant le côté pour.

Si le carré du côté opposé à l'angle aigu α, est inférieur à la somme des carrés des côtés restants, le triangle est acutangle. Algébriquement:

pour² < b² + c²; α < 90º

Le triangle équilatéral relatif, celui qui a ses trois côtés de la même mesure, est acutangle et donc oblique, car ses angles internes sont égaux et mesurent 60º.

Triangle obtus

D'un autre côté, si le carré du côté opposé pour À l'angle obtus, α est supérieur à la somme des carrés des deux autres, nous sommes en présence d'un triangle obtus. Donc:

pour² > b² + c²; α> 90º

Par exemple, un triangle dont les angles internes sont à 105 °, 60º et 15º est un triangle oblique oblique. Notez que 105º + 60º + 15º = 180º.

Théorèmes du sinus et du cosinus

Pour résoudre les triangles obliques, c'est-à-dire pour trouver les mesures de tous leurs côtés et de tous leurs angles, les théorèmes du sein et du cosinus sont nécessaires.

Soit a, b et c les côtés d'un triangle, et α, β et γ leurs angles internes. Ensuite:

Théorème du sein

Le théorème du sein établit ce qui suit:

Où α est l'angle opposé au côté A, β est l'angle opposé au côté B et γ est l'angle devant le côté C.

Il peut vous servir: antidérivatif: formules et équations, exemples, exercices

Équivalent:

Nous choisissons d'appliquer le théorème du sein lorsque nous allons résoudre un triangle que plus d'angles ne sont connus que les côtés.

Théorème de coseno

Selon le théorème de Coseno:

c² = A² + b² - 2⋅a⋅b⋅cos γ

Encore une fois, l'angle γ est devant le côté C. Nous pouvons également écrire des expressions équivalentes pour les côtés A et B, comme suit:

pour² = b² + c² - 2⋅b⋅c⋅cos α

ET

b² = A² + c² - 2⋅a⋅c⋅cos β

Le théorème de cosinus est appliqué de préférence lorsque la valeur des deux côtés et l'angle entre eux sont connus. De plus, une fois que les trois côtés d'un triangle ont été connus, le théorème nous permet de calculer le cosinus de l'angle entre deux d'entre eux.

Exercices résolus

- Exercice 1

Vérifiez que le triangle dont les côtés mesurent 20, 10 et 12 unités arbitraires est obtus.

Solution

Nous ne connaissons aucun des angles internes, mais selon les critères qui servent à reconnaître les triangles obtus, nous pouvons augmenter les inégalités avec les carrés des côtés pour observer s'il est accompli.

Nous trouvons d'abord les carrés de chaque côté:

vingt² = 400

dix² = 100

12² = 144

Et nous voyons cela en effet: 400> 100 + 144, depuis 400> 244. Par conséquent, le triangle contient un angle supérieur à 90º, situé devant le côté qui mesure 20. Par conséquent, ce triangle, en plus d'être oblique, est également obtus.

- Exercice 2

Étant donné le triangle oblique illustré à la figure 2, dont les mesures sont données dans des unités arbitraires, déterminez:

a) La valeur de x. Est-ce un triangle acutangle ou obtus?

b) les angles internes restants du triangle

c) périmètre

d) zone.

Figure 2. 2a) Triangle pour l'année résolu 2 et 2b) le même triangle avec une hauteur, qui servira à déterminer la zone. Source: F. Zapata.

Solution à

Du triangle, deux côtés adjacents sont connus, dont les mesures sont 38.0 et 45.8 et l'angle entre eux, qui est de 30 °, donc le théorème de cosinus est immédiatement appliqué:

X² = 38.0² + Quatre cinq.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Donc:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Le dessin suggère que α> 90º et le triangle est obtus, en plus de l'oblique. Pour le vérifier, nous trouvons les carrés des côtés, comme cela a été fait dans l'exercice précédent:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Quatre cinq.8² = 2097.64

L'angle α est supérieur à 90º s'il est vrai que le carré du côté opposé: 45.8²  Il est supérieur à la somme des carrés des autres côtés, qui est 22.96² + 38.0².

Peut vous servir: lois des exposants

Voyons si cela se produit:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

En effet:

2097.64> 1971.2

Par conséquent, l'angle α est supérieur à 90º.

Solution B

Maintenant, nous pouvons appliquer le théorème du sein pour trouver l'un des angles manquants. Nous allons le soulever pour l'angle β:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = arcsen (0.8275) = 55.84º

L'angle manquant peut être trouvé en sachant que la somme des angles internes de tout triangle est de 180 °. Donc:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Si vous êtes préféré, vous pouvez également utiliser le théorème de cosinus pour trouver le cosinus de l'angle qui se situe entre deux côtés adjacents. Une fois la fonction d'arc coseno utilisée pour déterminer l'angle.

Les résultats peuvent différer un peu dans les décimales, selon l'arrondi réalisé.

Solution C

Le périmètre P est le contour de la figure, équivalent à la somme des mesures des trois côtés:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 unités arbitraires.

Solution d

La formule pour calculer la zone de tout triangle est:

A = (1/2) x Base x hauteur

Nous devons choisir l'un des côtés comme base et déterminer la hauteur. Par exemple, choisir le côté qui mesure 45.8, nous dessinons la hauteur H jusqu'à sommet A, qui est la ligne rouge de la figure 2B.

En faisant cela, nous divisons le triangle d'origine en deux rectangles, tous deux avec H En tant que cateto commun. Chacun d'eux sert, car nous connaissons un côté et un angle nets.

Nous allons prendre celui qui a Hypotenusa égal à 38, une catégorie qui mesure H, qui est la hauteur recherchée et l'angle aigu égal à 30º.

À l'aide des raisons trigonométriques de l'angle aigu 30º, nous déterminons la valeur de H:

Sen 30º = Cateto en face de 30º / Hypotenusa = H / 38

H = 38 x sen 30º = 19

Donc:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 zones arbitraires de la zone.

Nous aurions pu choisir un autre côté comme base, par exemple le côté 38, dans ce cas, la hauteur H C'est différent, car un autre triangle rectangle est formé, mais le résultat de la zone est le même. Il reste comme un exercice pour le lecteur de le vérifier.

- Exercice 3

Étant donné un triangle ABC que A = 45º, B = 60º et A = 12 cm, calculez les autres données du triangle.

Peut vous servir: signes de regroupement

Solution

En utilisant que la somme des angles internes d'un triangle est égal à 180 ° il doit:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Les trois angles sont déjà connus. Ensuite, nous utilisons la loi du sein pour calculer les deux côtés qui manquent.

Les équations qui surviennent sont de 12 / sans (45º) = b / sans (60º) = c / sans (75º).

Depuis la première égalité, vous pouvez effacer "B" et l'obtenir:

b = 12 * sans (60º) / sans (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Vous pouvez également effacer "C" et l'obtenir:

C = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 cm.

- Exercice 4

Compte tenu du triangle ABC tel que A = 60º, C = 75º et B = 10 cm, calculez les autres données du triangle.

Solution

Comme l'année précédente, vous devez b = 180º-60º-75º = 45º. De plus, en utilisant la loi du sein que vous avez à / sans (60º) = 10 / sans (45º) = c / sans (75º), où il est obtenu que a = 10 * sans (60º) / sans (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm et c = 10 * sin (75º) / sans (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

- Exercice 5

Compte tenu du triangle ABC tel que A = 10cm, B = 15 cm et C = 80º, calculez les autres données du triangle.

Solution

Dans cet exercice, seul un angle est connu, il n'est donc pas possible de commencer comme cela a été fait dans les deux exercices précédents. De plus, le droit du sein ne peut pas être appliqué car aucune équation n'a pu être résolue.

Par conséquent, la loi des cosenos est appliquée. Vous devez:

C² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

Alors que c ≈ 16.51 cm. Maintenant, connaissant les 3 côtés, la loi du sein est utilisée et il est obtenu que:

10 / sans (a) = 15 / sans (b) = 16.51 cm / sans (80º).

De là, lorsque le clair B est sans (b) = 15 * sans (80º) / 16.51 ≈ 0.894, ce qui implique que b ≈ 63.38º.

Maintenant, il peut être obtenu que A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Exercice 6

Les côtés d'un triangle oblique sont a = 5cm, b = 3 cm et c = 7cm. Calculez les angles du triangle.

Solution

Encore une fois, la loi du sein ne peut pas être appliquée directement, car aucune équation ne servirait à obtenir la valeur des angles.

En utilisant la loi du cosinus, vous devez c² = a² + b² - 2Ab cos (c), d'où quand cos (c) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3² -7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 et donc c = 120º.

Maintenant, la loi du sein peut être appliquée et donc obtenir 5 / sans (a) = 3 / sans (b) = 7 / sans (120º), où B peut être effacé B et obtenir cela sans (b) = 3 * sans (120º ) / 7 = 0.371, de sorte que b = 21.79º.

Enfin, le dernier angle est calculé en utilisant que a = 180º-130º-21.79º = 38.21.

Les références

1. Clemens, s. Géométrie avec applications. Addison Wesley.
2. Ibáñez, p. 2010. Mathématiques III. Cengage Learning.
3. Jiménez, R. Mathématiques II: géométrie et trigonométrie. 2e. Édition. Pearson.
4. Mathématiques pour vous. Triangle obtus. Récupéré de: mathématiques pour.Wordpress.com.
5. Stewart, J. 2007. Précalation. 5e. Édition. Cengage Learning.