Explication du théorème de superposition, applications, exercices résolus

Il Théorème de superposition, Dans les circuits électriques, il établit que la tension entre deux points, ou le courant à travers elles, est la somme algébrique des tensions (ou des courants si c'est le cas), en raison de chaque source, comme si chacun agit dans un très indépendant.

Ce théorème permet d'analyser les circuits linéaires contenant plus d'une source indépendante, car il est seulement nécessaire de calculer la contribution de chacun séparément.

La dépendance linéaire est décisive pour que le théorème s'applique. Un circuit linéaire est celui dont la réponse est directement proportionnelle à l'entrée.

Par exemple, la loi d'Ohm appliquée à une résistance électrique établit que V = i.R, où V C'est la tension, R est la résistance et Toi C'est le courant. C'est alors une dépendance linéaire à la tension et au courant dans une résistance.

Dans les circuits linéaires, le principe de superposition est appliqué en tenant compte de ce qui suit:

-Chaque source de tension indépendante doit être considérée séparément et pour cela, il est nécessaire de désactiver tous les autres. Il suffit de mettre à 0 V tous ceux qui ne sont pas analysés ou les remplacer dans le schéma par un court-circuit.

-Si la source est alors le circuit doit être ouvert.

-Lorsque la résistance interne des sources de courant et de tension est considérée, elles doivent rester en place, faisant partie du reste du circuit.

-S'il y a des sources dépendantes, elles doivent être comme elle apparaît dans le circuit.

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Applications

Le théorème de chevauchement est utilisé pour obtenir des circuits plus simples et plus faciles à gérer. Mais il faut garder à l'esprit qui ne s'applique qu'à ceux qui ont des réponses linéaires, comme indiqué au début.

Ensuite, il ne peut pas être utilisé directement pour calculer la puissance par exemple, car la puissance est liée au courant à travers:

P = i² R

Puisque le courant est carré, la réponse n'est pas linéaire. Il n'est pas non plus applicable aux circuits magnétiques dans lesquels les transformateurs interviennent.

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D'un autre côté, le théorème de superposition offre la possibilité de connaître l'effet que chaque source sur le circuit a. Et bien sûr, grâce à son application, il est possible de le résoudre complètement, c'est-à-dire pour connaître les courants et les tensions à travers chaque résistance.

Le théorème de chevauchement peut également être utilisé en conjonction avec d'autres théorèmes de circuit, par exemple celui de la Thévenin, pour résoudre des configurations plus complexes.

Dans les circuits de courant alternatifs, le théorème est également utile. Dans ce cas, nous travaillons avec des impédances au lieu de résistances, tant que la réponse totale de chaque fréquence d'indépendance peut être calculée.

Enfin, dans les systèmes électroniques, le théorème est applicable à une analyse actuelle directe et alternative, séparément.

Étapes pour appliquer le théorème de chevauchement

-Désactiver toutes les sources indépendantes suivant les instructions données au début, sauf celle à analyser.

-Déterminez la sortie, soit la tension ou le courant, qui produit cette seule source.

-Répétez les deux étapes décrites pour toutes les autres sources.

-Calculez la somme algébrique de toutes les contributions trouvées dans les étapes précédentes.

Exercices résolus

Les exemples résolus ci-dessous clarifient l'utilisation du théorème dans certains circuits simples.

- Exemple 1

Dans le circuit illustré dans la figure suivante, trouvez le courant qui traverse chaque résistance à travers le théorème de chevauchement.

Solution

Contribution de la source de tension

Pour démarrer la source de courant est éliminé, avec lequel le circuit reste de cette manière:

La résistance équivalente ajoute la valeur de chaque résistance, car elles sont toutes en série:

7500 +600 +400 +1500 Ω = 10.000 Ω

Appliquer la loi d'Ohm V = i.R Et effacer le courant:

I = v / r = 7/10.000 a = 0.0007 a = 0.7 Ma

Ce courant est le même pour toute résistance.

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Contribution de la source actuelle

La source de tension est immédiatement éliminée, pour travailler uniquement avec la source de courant. Le circuit résultant est illustré ci-dessous:

Les résistances dans le maillage à droite sont en série et peuvent être remplacées par une seule:

600 +400 + 1500 Ω = 2500 Ω

Le circuit résultant est comme ceci:

Le courant de 2 mA = 0.002 a est divisé entre les deux résistances de la figure, donc l'équation du diviseur actuel est valide:

Toi_X = (R_égaliseur/ R_X) Yo_T

Où Toi_X est le courant en résistance R_X, R_égaliseur symbolise une résistance équivalente et Toi_T est le courant total. Il est nécessaire de trouver la résistance équivalente entre eux, sachant que:

1 / r_égaliseur = (1 / r₁) + (1 / r₂)

Donc:

1 / r_égaliseur = (1/7500) + (1/2500) = 1/1875 → R_égaliseur = 1875 Ω

Pour cet autre circuit, le courant qui passe par la résistance de 7500 Ω remplace les valeurs dans l'équation de division du courant:

Toi_{7500 Ω} = (1875/7500). 0.002 a = 0.0005 a = 0.5 mA

Tandis que celui qui passe par la résistance de 2500 Ω est:

Toi_{2500 Ω} = 2 mA - 0.5 mA = 1.5 mA

Application du théorème de superposition

Maintenant, le théorème de chevauchement pour chaque résistance est appliqué, à commencer par les 400 Ω:

Toi_{400 Ω} = 1.5 mA - 0.7 Ma = 0.8 mA

Important: Pour cette résistance, les courants sont soustraits, car ils circulent dans la direction opposée, comme on peut le voir dans l'observation minutieuse des figures, dans lesquelles les sens des courants ont des couleurs différentes.

Ce même courant va également à la résistance de 1500 Ω et 600 Ω, car ils sont tous en série.

Ensuite, le théorème est appliqué pour trouver le courant à travers la résistance de 7500 Ω:

Toi_{7500 Ω} = 0.7 Ma + 0.5 mA = 1.2 mA

Important: Dans le cas de la résistance de 7500 Ω, observez que les courants sont ajoutés, car dans les deux circuits, ils circulent dans le même sens lors du passage à travers cette résistance. Encore une fois, il est nécessaire d'observer attentivement les sens des courants.

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- Exercice 2

Trouvez le courant et la tension à travers la résistance de 12 Ω à travers le théorème de chevauchement.

Solution

La source E est remplacée₁ Avec un court-circuit:

Le circuit résultant est dessiné comme suit, pour visualiser facilement les résistances qui restent en parallèle:

Et maintenant, il est résolu en appliquant des séries et en parallèle:

1 / r_égaliseur = (1/12) + (1/4) = 1/3 → R_égaliseur = 3 Ω

Cette résistance est à son tour en série avec celle de 2 Ω, Par conséquent, la résistance totale est 5 Ω. Le courant total est:

I = v / r = 10 v / 5 Ω = 2 a

Ce courant est divisé comme:

Toi_12Ω = (3/12) 2 a = 0.5 a

Par conséquent, la tension est:

V_12Ω = 0.5 a × 12 Ω = 6 V

Maintenant, la source est activée₁:

Le circuit résultant peut être dessiné de cette manière:

1 / r_égaliseur = (1/12) + (1/2) = 7/12 → R_égaliseur = 12/7 Ω

Et en série avec le 4 Ω C'est une résistance équivalente 40/7 Ω. Dans ce cas, le courant total est:

I = v / r = 16 v / (40/7) Ω = 14/5 A

Le diviseur de tension avec ces valeurs est à nouveau appliqué:

Toi_12Ω = ((12/7) / 12) (14/5) a = 0.4 A

Le courant résultant est: 0.cinquante.4 a = 0.1 a. Notez qu'ils ont été soustraits, car le courant de chaque source fait un sens différent, comme on peut le voir dans le circuit d'origine.

La tension par la résistance est:

V_12Ω = 0.4 a × 12 Ω = 4.8 V

Enfin, la tension totale est: 6 V-4.8 V = 1.2 V

Les références

1. Alexander, C. 2006. Fondations du circuit électrique. 3e. Édition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse des circuits. 2e. Édition. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introduction aux circules électriques. 7e. Édition. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. mille neuf cent quatre vingt seize. Circuits électriques. Série Schaum. 3e. Édition. Mc Graw Hill
5. Wikipédia. Diviseur actuel. Récupéré de: c'est.Wikipédia.org.