Théorème vert, démonstration, applications et exercices

Il Théorème vert Il s'agit d'une méthode de calcul utilisée pour relier les intégrales de ligne avec des intégrales de double zone ou de surface. Les fonctions impliquées doivent être indiquées comme vecteurs et champs définis dans la trajectoire C.

Par exemple, une expression de la ligne intégrale peut être très compliquée à résoudre; Cependant, dans la mise en œuvre du théorème de Green, les doubles intégrales deviennent assez basiques. Il est toujours important de respecter le sens positif de la trajectoire, cela fait référence à la direction des aiguilles d'horloge.

Le théorème de Green est un cas particulier du théorème de Stokes, où la projection de la fonction vectorielle est effectuée dans le plan XY.

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Définition

L'expression de Green du théorème de Green est la suivante:

Dans le premier terme, l'intégrale de la ligne définie par la trajectoire "C" est observée, du scalaire du produit entre la fonction vectorielle "f" et celle du vecteur "r".

C: C'est la trajectoire définie sur laquelle la fonction vectorielle sera projetée tant qu'elle est définie pour ce plan.

F: fonction vectorielle, où chacun de ses composants est défini par une fonction en tant que telle (F, G).

R: C'est une tangente vectorielle à la région R sur laquelle l'intégrale est définie. Dans ce cas, il fonctionne avec un différentiel de ce vecteur.

Dans le deuxième terme, nous voyons le théorème développé vert, où la double intégrale définie dans la région R de la différence des dérivés partiels de G et F est observé, par rapport à X et et respectivement. Pour un différentiel de zone qui n'est rien de plus que le produit des deux différentiels à deux dimensions (dx.dy).

Ce théorème est parfaitement applicable aux intégrales de l'espace et de la surface.

Manifestation

Pour démontrer le théorème de Green d'une manière simple, cette tâche sera divisée en 2 parties. Nous supposerons d'abord que la fonction vectorielle F n'a qu'une définition dans le Versor Toi. Tandis que la fonction «g» correspondant au versor J sera égal à zéro.

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F = f (x, y)Toi + G (x, y)J = f (x, y)Toi + 0

R = xToi + etJ

Dr = dxToi + DyJ

Nous développons d'abord l'intégrale de la ligne sur la trajectoire C, pour laquelle la trajectoire a été sectorisée en 2 sections qui passent en premier de A à B et après B à un.

La définition du théorème fondamental du calcul d'une intégrale définie est appliquée.

L'expression est réorganisée en une seule intégrale, est rendue commune au négatif et l'ordre des facteurs est inversé.

En observant en détail cette expression, il devient évident que lors de l'application des critères de fonction primitive, il est en présence de l'intégrale de l'expression dérivée de F par rapport à et. Évalué dans les paramètres

[et_{1 fois} , et_2x]]

Maintenant, il suffit de supposer que la fonction de plaisir vectoriel est définie uniquement pour g (x, y)J. Lorsque lorsque vous opérez d'une manière homologuée dans le cas précédent, il est obtenu:

Enfin, les 2 démonstrations sont prises et se joignent dans le cas où la fonction vectorielle prend des valeurs pour les deux verseurs. De cette façon, il est montré comme l'intégrale de la ligne après avoir défini et étant considéré comme une trajectoire à une dimension, il peut être entièrement développé pour le plan et l'espace.

F = f (x, y)Toi + G (x, y)J

De cette façon, le théorème de Green est démontré.

Applications

Les applications du théorème vert sont larges dans les branches de la physique et des mathématiques. Ceux-ci s'étendent à toute application ou utilisation qui peut être donnée à l'intégration de ligne.

Les travaux mécaniques effectués par une force F à travers une trajectoire C, peuvent être développés par une ligne intégrale qui est exprimée en double intégrale d'une zone à travers le théorème de Green.

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Les moments d'inertie de nombreux organes soumis à des forces externes à différents points d'application, répondent également aux intégrales à développement avec le théorème de Green.

Cela a de multiples fonctionnalités dans les études de résistance des matériaux utilisés. Où les valeurs externes peuvent être quantifiées et prises en compte avant l'élaboration de divers éléments.

En général, le théorème de Green facilite la compréhension et la définition des domaines où les fonctions vectorielles sont définies par rapport à une région selon une trajectoire.

Histoire

Il a été publié en 1828 dans l'œuvre Analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme, Écrit par le mathématicien britannique George Green. Il explore des sections assez décisives dans l'application du calcul en physique, comme le concept de potentiel, les fonctions du vert et les applications de son théorème automobile intitulé.

George Green a officialisé sa carrière étudiante à 40. Après avoir étudié à l'Université de Cambridge, ses recherches se poursuivent, apportant des contributions dans le domaine de l'acoustique, de l'optique et de l'hydrodynamique qui sont encore en vigueur aujourd'hui.

Relation avec d'autres théorèmes

Le théorème de Green est un cas spécial et provient de 2 autres théorèmes très importants dans la branche de calcul. Ce sont le théorème de Kelvin-Stokes et le théorème de la divergence ou de Gausski.

À partir de l'un des deux théorèmes, vous pouvez atteindre le théorème de Green. Certaines définitions et propositions sont nécessaires pour développer ces démonstrations.

Exercices

- L'exercice suivant montre comment transformer une ligne intégrale en une double intégration par rapport à une région R.

L'expression originale est la suivante:

Peut vous servir: combien vaut x?

Et doit être évalué dans la région triangulaire qui rejoint les points (0, 0), (1, 0), (0, 1) indiqué par C. Pour ce cas, le sens positif du tour sera considéré.

Où les fonctions correspondant à F et G sont tirées de

f (x, y) = x³                      g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Il est important de définir les fonctions qui composent les limites de la région C, pour pouvoir assembler le produit différentiel qui couvrira complètement la région.

Il n'y a aucun moyen unique de définir des limites d'intégration lors de l'application du théorème de Green. Mais il existe des formes où les intégrales après avoir été définies peuvent être plus simples. De telle manière que l'optimisation des limites d'intégration mérite l'attention.

Pour ce cas, cette expression est considérée:

Où en résolvant les intégrales que nous obtenons:

Cette valeur correspond en unités cubes à la région sous la fonction vectorielle et dans la région triangulaire définie par C.

Dans le cas de l'intégrale de la ligne sans effectuer la méthode verte, il aurait été nécessaire de paramétrer les fonctions dans chaque section de la région. C'est-à-dire faire 3 intégrales paramétrées pour la résolution. C'est une preuve suffisante de l'efficacité que Robert Green a contribué à son théorème au calcul.

Les références

1. Introduction à la mécanique continue. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 juillet. 2009
2. Calcul à variables multiples. James Stewart. Cengage Learning, 22 mars. 2011
3. Une histoire informelle du théorème de Green et des idées associées. James Joseph Cross. Département des mathématiques, Université de Melbourne, 1975
4. Comportement thermique à l'aide de fonctions verts. Kevin D. Cole, James V. Beck, un. Haji-Sheikh, Bahman Luckouhi. Taylor & Francis, 16 juillet. 2010
5. Application du théorème de Green à l'extrémisation des intégrales linéaires. Centre d'information technique de défense, 1961