Théorème de Bayes

Nous expliquons quel est le théorème de Bayes, ses applications et nous mettons des exercices résolus

Quel est le théorème de Bayes?

Il Théorème de Bayes Il s'agit d'une procédure qui nous permet d'exprimer la probabilité conditionnelle d'un événement aléatoire A Dice B, en termes de distribution de probabilité.

Ce théorème est très utile, car grâce à lui, nous pouvons relier la probabilité qu'un événement A se produise en sachant que B se produisait, avec la probabilité que l'inverse se produit, c'est-à-dire qu'il se produit donné à.

Le théorème de Bayes était une proposition d'argent du révérend Thomas Bayes, un théologien anglais du XVIIIe siècle qui était également mathématicien. Il était l'auteur de plusieurs emplois en théologie, mais actuellement il est connu pour quelques traités mathématiques, parmi lesquels le théorème de Bayes déjà mentionné comme résultat principal.

Bayes a traité ce théorème dans une œuvre intitulée "Un essai pour résoudre un problème dans la doctrine des chances" (un essai pour résoudre un problème dans la doctrine des possibilités), publié en 1763, et sur lequel de grandes études ont développé des applications avec des applications Dans divers domaines de la connaissance.

Explication

Premièrement, pour une plus grande compression de ce théorème, certaines notions de base de théorie de la probabilité sont nécessaires, en particulier le théorème de multiplication pour la probabilité conditionnelle, qui établit que

Pour e et pour les événements arbitraires d'un espace d'échantillon s.

Et la définition des partitions, qui nous dit que nous avons₁ ,POUR₂,… , POUR_n Événements d'un espace d'échantillonnage, ceux-ci formeront une partition de S, si le A_Toi Ils s'excluent mutuellement et leur union est s.

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Avoir ça, que ce soit un autre événement. Nous pouvons donc voir B comme

Où un_Toi Les événements mutuellement exclusifs sont croisés.

Et par conséquent,

Ensuite, en appliquant le théorème de multiplication

D'un autre côté, la probabilité conditionnelle de l'AI B est définie par

Remplacer correctement nous avons cela pour tout je

Applications du théorème de Bayes

Grâce à ce résultat, les groupes de recherche et diverses sociétés ont réussi à améliorer les systèmes basés sur les connaissances.

Étude de la maladie

Par exemple, dans l'étude des maladies, le théorème de Bayes peut aider à discerner la probabilité qu'une maladie se trouve dans un groupe de personnes ayant une caractéristique donnée, prenant comme données les taux globaux de la maladie et la prédominance desdites caractéristiques dans les deux Personnes saines et malades.

Développement de software

D'un autre côté, dans le monde des technologies élevées, elle a influencé les grandes entreprises qui ont développé, grâce à ce résultat, un logiciel "basé sur des connaissances".

À titre d'exemple quotidien, nous avons l'assistant Microsoft Office. Le théorème de Bayes aide les logiciels à évaluer les problèmes que l'utilisateur présente et à déterminer les conseils à fournir et ainsi à offrir un meilleur service en fonction des habitudes de l'utilisateur.

Il convient de noter que cette formule a été ignorée jusqu'aux derniers temps, c'est principalement parce que lorsque ce résultat a été développé il y a 200 ans, il y avait peu d'utilisation pratique pour eux. Cependant, à notre époque, grâce aux grandes avancées technologiques, les scientifiques ont obtenu des moyens de mettre ce résultat en pratique.

Exercices résolus

Exercice 1

Une entreprise de téléphone portable a deux machines A et B. 54% des téléphones portables sont fabriqués par la machine A et le reste par la machine B. Tous les téléphones portables ne sont pas en bon état.

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La proportion de téléphones portables défectueux fabriqués par a est 0.2 et pour b est 0.5. Quelle est la probabilité qu'un téléphone portable de ladite usine soit défectueux? Quelle est la probabilité que, sachant qu'un téléphone portable est défectueux, vient de la machine à?

Solution

Ici, vous avez une expérience qui est effectuée en deux parties; Dans la première partie, les événements se produisent:

À: téléphone portable fabriqué par la machine A.

B: téléphone portable fabriqué par la machine B.

Puisque la machine A produit 54% des téléphones portables et le reste est produit par la machine B, la machine B doit produire 46% des téléphones portables. Les chances de ces événements sont données, à savoir:

P (a) = 0,54.

P (b) = 0,46.

Les événements de la deuxième partie de l'expérience sont:

D: téléphone portable défectueux.

E: cellule non défectueuse.

Comme indiqué dans la déclaration, les probabilités de ces événements dépendent du résultat obtenu dans la première partie:

P (d | a) = 0,2.

P (d | b) = 0,5.

En utilisant ces valeurs, vous pouvez également déterminer les probabilités des accessoires de ces événements, c'est-à-dire:

P (e | a) = 1 - p (d | a)

= 1 - 0,2

= 0,8

et

P (e | b) = 1 - p (d | b)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Maintenant, l'événement D peut être écrit comme suit:

Ces événements s'excluent mutuellement.

L'utilisation du théorème de multiplication pour la probabilité conditionnelle est:

Avec lequel la première question est répondue.

Nous avons maintenant besoin de calculer P (a | d), pour lequel le théorème de Bayes est appliqué:

Grâce au théorème de Bayes, on peut affirmer que la probabilité qu'un téléphone portable ait été fabriqué par la machine A, sachant que le téléphone portable est défectueux, est 0.319.

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Exercice 2

Trois boîtes contiennent des boules noires et noires. La composition de chacun d'elles est la suivante: U1 = 3b, 1n, u2 = 2b, 2n, u3 = 1b, 3n.

Une des boîtes choisies au hasard et une balle aléatoire en est extraite qui se révèle être blanche. Quelle est la boîte avec la plus susceptible d'avoir été choisie?

Solution

Grâce à U1, U2 et U3, nous représenterons également la boîte choisie.

Ces événements constituent une partition de S et il est vérifié que P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 puisque le choix de la boîte est aléatoire.

Si b = la balle extraite est blanche, nous aurons p (b | u1) = 3/4, p (b | u2) = 2/4, p (b | u3) = 1/4 .

Ce que nous voulons obtenir, c'est la probabilité que la balle ait été tirée de la boîte IU sachant que cette balle était blanche, c'est-à-dire p (ui | b), et voir laquelle des trois valeurs était la plus élevée à savoir qui dont la boîte a été plus susceptible d'extraction de la balle blanche.

Appliquer le théorème de Bayes au premier des boîtes:

Et pour les deux autres:

P (U2 | B) = 2/6 et P (U3 | B) = 1/6.

Ensuite, la première des boîtes est celle qui a une plus grande probabilité d'avoir été choisie pour l'extraction de la boule blanche.