Concept de relations de proportionnalité, exemples et exercices

Le Relations de proportionnalité Ce sont des liens entre deux ou plusieurs variables, de sorte que lorsque l'une des quantités varie, la valeur des autres aussi. Par exemple, si l'on augmente, d'autres peuvent augmenter ou diminuer, mais en un montant uniforme.

Les anciens mathématiciens grecs ont réalisé que certaines variables étaient liées de manière très précise. Ils ont réalisé que si un cercle est deux fois le diamètre qu'un autre, il aura un cercle avec une double longueur.

Figure 1. La longueur d'un cercle est directement proportionnelle à son diamètre D. Source: F. Zapata

Et si le diamètre triple, alors le contour de la circonférence sera également triple. Cela signifie qu'une augmentation du diamètre produit une augmentation proportionnelle de la taille de la circonférence.

Et donc nous pouvons affirmer que la longueur de la circonférence L est proportionnelle au diamètre de celle-ci, qui est exprimée comme suit:

L ∝ D

Où le symbole ∝ est lu "directement proportionnel à". Pour modifier le symbole de proportionnalité pour l'égalité et incorporer des valeurs numériques, il est nécessaire de déterminer le lien entre les variables, appelées constante de proportionnalité.

Après avoir effectué de nombreuses mesures, les anciens mathématiciens ont déterminé que la constante de proportionnalité entre la taille L de la circonférence, et le diamètre d, était le numéro 3.1416… Les points suspendus indiquent une quantité infinie de décimales.

Cette valeur n'est autre que celle du célèbre nombre π (pi) et de cette façon nous écrivons:

L = π.D

De cette façon, la raison entre la longueur et le diamètre d'un cercle est la même que la raison entre la longueur et le diamètre d'un autre. Et la meilleure chose est que nous avons maintenant un moyen de calculer la longueur de toute circonférence simplement en connaissant son diamètre.

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Exemples de relations de proportionnalité

En science (et dans la vie quotidienne aussi), il est très important de trouver des relations entre les variables, de savoir comment les changements dans l'un d'eux affectent l'autre. Par exemple:

Peut vous servir: combien de diamètres ont une circonférence?

-Si faire une douzaine de biscuits, 3 tasses de farine sont nécessaires. Combien de tasses sont nécessaires pour faire 2 dizaines et demi?.

-Sachant que sur la planète Mercury, un objet pèse 4 fois moins que sur terre, combien une voiture de mercure.5 tonnes?

-Comment le changement de la force appliqué dans l'accélération du corps sur lequel il s'applique affecte?

-Si un véhicule se déplace avec un mouvement rectiligne uniforme sur une autoroute et que nous savons qu'il parcourt 30 km en 10 minutes, quelle sera la distance parcourue après 20 minutes?

-Lorsque nous avons un fil par lequel un courant électrique passe, comment la tension entre ses extrémités varie-t-elle si elle augmente?

-Si le diamètre d'un cercle est doublé, comment votre zone est-elle affectée?

-Comment la distance à l'intensité du champ électrique produit par une charge ponctuelle affecte-t-elle?

La réponse est dans les relations de proportionnalité, mais toutes les relations ne sont pas du même type. Ensuite, nous les trouverons pour toutes les situations soulevées ici.

Proportionnalité directe et proportionnalité inverse

Deux variables x et y sont en proportion directe si elles sont liées par:

y = kx

Où k est la proportionnalité constante. Un exemple est la relation entre les quantités de farine et les cookies. Si nous représentons ces variables, une ligne droite est obtenue comme celle montrée sur la figure:

Figure 2. Faire 2.5 douzaines de biscuits ont besoin de 7.5 tasses de farine (point C). Source: F. Zapata.

Oui et sont les tasses de farine et x des dizaines de cookies, la relation entre eux est:

y = 3x

Pour x = 1 douzaine, nous avons besoin de y = 3 tasses de farine. Et pour x = 2.5 douzaines, y = 7 sont nécessaires.5 tasses de farine.

Il peut vous servir: les 8 types d'erreurs de mesure (avec des exemples)

Mais nous avons aussi:

-Accélération pour qui ressent un corps est proportionnel à la force F qui agit sur lui, étant la masse du corps, appelée m, La proportionnalité constante:

F = mpour

Par conséquent, plus la force appliquée est grande, plus l'accélération a produite.

-Dans les conducteurs ohmiques, la tension V entre ses extrémités est proportionnelle au courant appliqué et. La constante de proportionnalité est la résistance du conducteur:

V = ri

-Lorsqu'un objet se déplace avec un mouvement rectiligne uniforme, la distance d est proportionnel au temps t, être la vitesse V La proportionnalité constante:

D = V.t

Parfois, nous trouvons deux quantités telles qu'une augmentation de A produit un diminuer proportionnel dans l'autre. Cette unité est appelée Proportion inverse.

Par exemple, dans l'équation précédente, le temps t nécessaire pour parcourir une certaine distance d est inversement proportionnel à la vitesse V de l'itinéraire:

T = d / v

Et donc, plus la vitesse V est grande, moins la voiture prend du temps pour parcourir la distance d. Si par exemple la vitesse est doublée, le temps est réduit de moitié.

Lorsque deux variables x et y sont en proportion inverse, nous pouvons écrire:

y = k / x

Être la proportionnalité constante. Le graphique de cette unité est:

figure 3. Graphique 1 / x qui représente la proportionnalité inverse. Source: Wikimedia Commons.

Autres types de proportionnalité

Dans l'un des exemples mentionnés précédemment, nous nous sommes demandé ce qui se passait avec la zone du cercle lorsque le rayon augmente. La réponse est que la zone est directement proportionnelle au carré du rayon, la constante de proportionnalité étant π:

A = πr²

Dans le cas où le rayon est doublé, la zone augmentera d'un facteur 4.

Et dans le cas du champ électrique ET produit par une charge ponctuelle q, On sait que l'intensité diminue avec l'inverse au carré de distance r à la charge q:

E = k_et Q / R²

Peut vous servir: pourquoi l'algèbre est-elle importante dans certaines situations de vie quotidiennes?

Mais nous pouvons également affirmer que l'intensité du champ est directement proportionnelle à l'ampleur de la charge, étant la constante de proportionnalité k_et, La constante électrostatique.

Les autres proportionnalités qui se produisent dans la science sont la proportionnalité exponentielle et la proportionnalité logarithmique. Dans le premier cas, les variables x et y sont liées à travers:

y = k.pour^X

Où a est la base, un nombre positif de 0, qui est généralement 10 ou le nombre e. Par exemple, la croissance exponentielle des bactéries a cette forme.

Dans le deuxième cas, la relation entre les variables est:

y = k.enregistrer_pour X

Encore une fois, A est la base du logarithme, qui est fréquemment 10 (logarithme décimal) ou E (logarithme népérienne).

Exercices

- Exercice 1

Sachant que sur la planète Mercury, un objet pèse 4 fois moins que sur terre, combien une voiture à mercure.5 tonnes?

Solution  

Poids de mercure = (1/4) Poids dans la Terre = (1/4) x 1.5 tonnes = 0.375 tonnes.

- Exercice 2

Pour une fête, certains amis décident de préparer du jus à un concentré fruité. Les instructions d'emballage indiquent que 15 verres de jus sont fabriqués à partir d'un verre de concentré. Combien de concentré est nécessaire pour fabriquer 110 verres de jus?

Solution

LET et la quantité de jus et de navires X la quantité de vaisseaux de concentré. Ils sont liés à travers:

y = kx

Lors du remplacement des valeurs y = 15 et x = 1, la constante k est effacée:

K = y / x = 15/1 = 15

Donc:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7.33 verres de concentré de fruits.

Les références

1. Baldor, un. 1974. Algèbre. Culturel vénézuélien.POUR.
2. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. 6e. Ed Prentice Hall.
3. Varsity Tutorrs. Relations de proportionnalité. Récupéré de: WarsityTorm.com
4. Wikipédia. Proportionnalité. Récupéré de: est.Wikipédia.org.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.