Règles de dérivation (avec des exemples)

Quelles sont les règles de dérivation?

Le Règles de derrying Ils sont l'ensemble des indications à suivre pour trouver la dérivée ordinaire d'une fonction variable réelle f (x).

La dérivée ordinaire de la fonction f (x), désignée f '(x), est interprétée comme le taux de change instantané de ladite fonction par rapport à la variable x. Graphiquement, la dérivée est la pente de la ligne tangente à la courbe de f (x), calculée à un point donné dont la coordonnée est x_soit, comme représenté dans la figure ci-dessous.

Le dérivé comme pente de la ligne tangente à f (x) à un point donné. Source: Anemos Wikimedia / modifié par F. Zapata.

Maintenant, analytiquement, la dérivée est calculée à travers la limite suivante:

Ainsi, chaque fois que la dérivée d'une fonction est nécessaire, la limite doit être évaluée comme indiqué. Cependant, il existe des règles de désagréation, qui sont facilement mémorisées avec un peu de pratique et sauvent le travail de calcul de la limite, ce qui, dans certains cas, est lourd.

Quelles sont les règles de dérivation?

Les règles de dérivation présentées ci-dessous sont facilement obtenues par la définition de dérivée formelle.

1. Dérivés immédiats

Dérivé d'une constante

Le dérivé d'une constante k est 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Exemple

f (x) = 5, alors f '(5) = 0

Dérivé de x

La dérivée de f (x) = x est toujours 1, c'est-à-dire que:

f (x) = x, alors f '(x) = 1

2. Fonction linéaire dérivée

La fonction linéaire a la forme:

f (x) = hache

Où a est un nombre réel.

Son dérivé est:

f '(x) = a

• Exemple

Soit f (x) = 3x, alors:

f '(x) = 3

3. Dérivé d'une somme

Si f (x) est la somme ou la soustraction de deux fonctions U et V, toutes deux différenciables:

f (x) = u ± v

Ensuite:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Dérivé de la fonction associée

La fonction connexe est la somme de deux termes:

Peut vous servir: opérations combinées

f (x) = ax + b

Où A et B sont des nombres réels. Application de la somme de la somme:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Mais:

(ax) '= a (règle 2)

(b) '= 0 (règle 1)

Donc:

f '(x) = a

• Exemple

La dérivée de f (x) = −8x + 6 est:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Dérivé d'un pouvoir

Cas 1

Soit f (x) une fonction potentielle de la forme f (x) = xⁿ, ensuite:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Exemple

Lorsqu'il est dérivé:

f (x) = x³

Résultat:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Cas 2

Si la fonction a la forme f (x) = axⁿ, Où A est un nombre réel, il sort du dérivé:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Exemple

Dériver:

f (x) = 4x⁵

Est obtenu:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Cas 3

Si l'exposant est fractionnaire, il se déroule de la même manière qu'il a été expliqué dans les cas 1 et 2. Cela se produit lorsque la variable x se trouve comme un argument d'une racine.

• Exemple

Être la fonction:

f (x) = 3x^3/2

Le dérivé est:

 Si vous voulez écrire sous la forme de racine:

5. Produit dérivé

La règle du produit s'applique aux fonctions en forme de produit entre deux fonctions U et V, toutes deux différenciables:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

C'est-à-dire que la dérivée du produit de deux fonctions est la dérivée du premier, par la seconde sans dériver, plus la première sans dériver, multipliée par le dérivé du second.

• Exemple

Trouvez, en suivant la règle du produit et les règles décrites ci-dessus, la dérivée de:

G (x) = (2x + 3) (4x²−1)

La première chose est de décider qui sont u et v, en se rappelant que l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit, ils peuvent être choisis de cette manière:

• U = 2x + 3
• V = 4x²−1

Ensuite, la règle du produit est augmentée et les dérivés indiqués sont résolus, selon les règles décrites ci-dessus:

G '(x) = (2x + 3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

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Il faut que:

• (2x + 3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Remplacement:

G '(x) = 2x (4x²−1) + (2x + 3) 8x

Le dérivé est déjà prêt, mais l'expression peut toujours être facteur:

G '(x) = 2x [4x²−1 + 8 (2x + 3)] =

= 2x [4x²−1 + 16x + 24] =

= 2x (4x²+16x + 23)

Ce résultat peut également être obtenu en appliquant précédemment une propriété distributive au produit (2x + 3) (4x²−1) puis en utilisant les règles de 1 à 4. Il est laissé comme de l'exercice pour le lecteur.

6. Dérivé du quotient

Être fonction de la forme:

Avec la condition V ≠ 0, et que les deux, U et V, sont différenciables. Dans ce cas, sa dérivée est calculée:

• Exemple

Trouvez le dérivé de:

Pour cet exemple, vous devez:

• U = x + 1
• v = x²

Le rapport de la règle du quotient mène à:

Pour lequel il est nécessaire de remplacer ce qui suit:

• (x + 1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

Et lors du remplacement, c'est:

En appliquant une propriété distributive dans le numérateur et en réduisant les termes, l'expression de f '(x) est:

L'exercice aurait pu être résolu d'une autre manière, réécrivant F (x) comme:

f (x) = (x + 1) ∙ x⁻²

Puis appliquer la règle du produit et une algèbre. Il est laissé comme un exercice pour le lecteur pour vérifier qu'il est obtenu un résultat identique.

7. la règle de la chaîne

S'applique aux fonctions composites, formulaire:

f = f (u)

Où u = g (x)

Son dérivé est effectué comme suit:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

Un g '(x) est connu comme le Dérivé interne. L'application de la règle de la chaîne est plus facile qu'elle ne semble à première vue, voir cet exemple:

• Exemple

En appliquant la règle de la chaîne, trouvez le dérivé de:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Par conséquent, f (u) = u⁷ Et sa dérivée, selon la règle 4, est:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Ce résultat est enregistré et le dérivé interne g '(x) est calculé:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²)'-(1)'

Ici, il est nécessaire d'appliquer les règles successivement: 3 (pour la somme / soustraction des fonctions), 4 (pour les pouvoirs) et 1 (pour le dérivé d'une constante).

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Est obtenu:

G '(x) = (2x²) '- (1)' = 4x

La dernière étape consiste à multiplier les résultats:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Et enfin réorganiser les facteurs:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Dérivé des fonctions trigonométriques

Les dérivés des fonctions trigonométriques sont:

• Exemple

Dériver:

H (x) = sin (4x)

Faire u = 4x et l'application de la règle de la chaîne est obtenu:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Dérivé des fonctions trigonométriques inverses

Ils sont présentés dans le tableau suivant:

• Exemple

Dériver:

g (x) = arct tg (-2x)

En gardant toujours à l'esprit la règle de la chaîne, u = -2x est terminé et le dérivé est:

dix. Dérivé des fonctions exponentielles et logarithmiques

Fonction exponentielle

Si la base est le numéro E:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Lorsque la base est un numéro A:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Fonction logarithmique

Lorsqu'une fonction de logarithme népérienne est dérivée:

f (x) = ln x

Dans le cas d'un logarithme sur une autre base:

f (x) = journal_pour X

• Exemple

Dériver:

H (x) = x ∙ lnx

onze. Dérivé implicite

Ils sont utilisés lorsque la clairance de y (x) n'est pas immédiate, par conséquent, il n'y a pas d'expression explicite pour f (x), comme dans les cas précédents. Même ainsi, il est possible de trouver la dérivée avec la procédure illustrée dans l'exemple suivant:

• Exemple

Dérivez implicitement l'expression suivante pour trouver et ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Comme vous pouvez le voir, il n'est pas facile de trouver et selon X directement, donc pour trouver le dérivé demandé, les règles décrites sont appliquées, se référant des deux côtés de l'égalité:

(4x³) '+ [11 (x)' + 11x (et²) '] - (2Y³) '= 0 (règle de somme et règle du produit)

L'objectif est de vider et de faire, qui est le dérivé recherché, pour lequel la règle de la chaîne est appliquée:

12X² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6Y²et '= 12x² + 11 + 22xy ∙ et '- 6Y² ∙ et '= 0

et '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0