Raisonnement algébrique

Qu'est-ce que le raisonnement algébrique?

Il raisonnement algébrique C'est essentiellement. Une caractéristique des mathématiques est la rigueur logique et la tendance abstraite utilisée dans leurs arguments.

Pour cela, il est nécessaire de connaître la "grammaire" correcte qui doit être utilisée dans cette écriture. De plus, le raisonnement algébrique empêche les ambiguïtés de la justification d'un argument mathématique, qui est essentiel pour démontrer tout résultat en mathématiques.

Variables algébriques

Une variable algébrique est simplement une variable (une lettre ou un symbole) qui représente un certain objet mathématique.

Par exemple, les lettres x, y, z, sont généralement utilisées pour représenter les nombres qui satisfont une équation donnée; les lettres p, q r, pour représenter des formules propositionnelles (ou leurs majuscules respectifs pour représenter des propositions spécifiques); et lettres a, b, x, etc., Pour représenter les ensembles.

Le terme "variable" souligne que l'objet en question n'est pas fixe, mais varie. Tel est le cas d'une équation, dans laquelle des variables sont utilisées pour déterminer les solutions initialement inconnues.

En termes généraux, une variable algébrique peut être considérée comme une lettre qui représente un objet, fixe ou non.

Tout comme les variables algébriques sont utilisées pour représenter des objets mathématiques, nous pouvons également considérer les symboles pour représenter les opérations mathématiques.

Par exemple, le symbole "+" représente l'opération "SUM". D'autres exemples sont les différentes notations symboliques des connecteurs logiques dans le cas des propositions et des ensembles.

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Expressions algébriques

Une expression algébrique est une combinaison de variables algébriques à travers des opérations précédemment définies. Des exemples de cela sont les opérations de base de la somme, de la soustraction, de la multiplication et de la division entre les nombres, ou les connecteurs logiques dans les propositions et ensembles.

Le raisonnement algébrique est responsable de l'expression du raisonnement mathématique ou de l'argument par des expressions algébriques.

Cette forme d'expression aide à simplifier et à abréger l'écriture, car elle utilise des notations symboliques et permet au raisonnement de mieux comprendre, le présentant d'une manière plus claire et plus précise.

Exemples

Regardons quelques exemples qui montrent comment le raisonnement algébrique est utilisé. Très régulièrement est utilisé pour résoudre les problèmes de logique et de raisonnement, comme nous le verrons sous peu.

Considérez la proposition mathématique bien connue "La somme de deux nombres est commutative". Voyons comment nous pouvons exprimer cette proposition algébriquement: compte tenu de deux nombres "A" et "B", ce qui signifie que cette proposition est que A + B = B + A.

Le raisonnement utilisé pour interpréter la proposition initiale et l'exprimer en termes algébriques est un raisonnement algébrique.

Nous pourrions également mentionner l'expression célèbre "L'ordre des facteurs ne modifie pas le produit", qui fait référence au fait que le produit de deux nombres est également commutatif, et exprime algébriquement comme axb = bxa.

De même, ils peuvent s'exprimer (et s'exprimer en fait) les propriétés associatives et distributives pour la somme et le produit, dans lesquelles la soustraction et la division sont incluses.

Ce type de raisonnement couvre un langage très large et est utilisé dans des contextes multiples et différents. Selon chaque cas, dans ces contextes, nous devons reconnaître les modèles, interpréter les déclarations et généraliser et formaliser leur expression en termes algébriques, fournissant un raisonnement valide et séquentiel.

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Exercices résolus

Voici quelques problèmes logiques, que nous résoudrons en utilisant le raisonnement algébrique:

Premier exercice

Quel est le nombre qui, en supprimant la moitié, est le même que celui?

Solution

Pour résoudre ce type d'exercices, il est très utile de représenter la valeur que nous voulons déterminer par une variable. Dans ce cas, nous voulons trouver un nombre que lors du retrait de la moitié, le numéro un. Notons par x le numéro recherché.

"Supprimer la moitié" un nombre implique de le diviser par 2. Ainsi, ce qui précède peut être exprimé algébriquement comme x / 2 = 1, et le problème est réduit pour résoudre une équation, ce qui dans ce cas est linéaire et très simple à résoudre. Effacement x Nous obtenons que la solution est x = 2.

En conclusion, 2 est le nombre qui, lors du retrait de la moitié, est égal à 1.

Deuxième exercice

Combien de minutes y a-t-il pour minuit s'il y a 10 minutes, il y avait 5/3 de ce qui manque maintenant?

Solution

Laissez-nous "z" le nombre de minutes pour minuit (toute autre lettre peut être utilisée). C'est-à-dire qu'en ce moment, les minutes "z" pour minuit sont manquantes. Cela implique qu'il y a 10 minutes "Z + 10" minutes pour minuit manquait, ce qui correspond à 5/3 de ce qui manque maintenant; c'est-à-dire (5/3) z.

Ensuite, le problème est réduit à la résolution de l'équation Z + 10 = (5/3) Z. Multipliant les deux côtés de l'égalité par 3, l'équation 3Z + 30 = 5Z est obtenue.

Maintenant, lors du regroupement de la variable "Z" d'un côté de l'égalité, il est obtenu que 2Z = 15, ce qui implique que z = 15.

Par conséquent, 15 minutes sont manquantes pour minuit.

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Troisième exercice

Dans une tribu qui pratique le troc, il y a ces équivalences:

- Une lance et un collier sont échangés contre un bouclier.

- Une lance équivaut à un couteau et à un collier.

- Deux boucliers sont échangés contre trois unités de couteaux.

Combien de colliers est un équivalent de lance?

Solution

Sean:

CO = un collier

L = une lance

E = un bouclier

Cu = un couteau

Ensuite, nous avons les relations suivantes:

Co + l = e

L = co + cu

2e = 3cu

De sorte que le problème est réduit à la résolution d'un système d'équations. Bien qu'il ait plus d'inconnues que d'équations, ce système peut être résolu, car ils ne nous demandent pas une solution spécifique mais l'une des variables en fonction d'un autre. Ce que nous devons faire, c'est exprimer "co" basé sur "L" exclusivement.

D'après la deuxième équation, vous devez Cu = l - CO. Remplacement dans le troisième, il est obtenu que E = (3L - 3CO) / 2. Enfin, le remplacement dans la première équation et la simplification est obtenu que 5CO = L; C'est-à-dire qu'une lance équivaut à cinq colliers.