Matematiques

Techniques et exemples de comptage des principes multiplicatifs

Techniques et exemples de comptage des principes multiplicatifs

Quel est le principe multiplicatif?

Il principe multiplicatif Il s'agit d'une technique utilisée pour résoudre des problèmes de comptage pour trouver la solution sans qu'il soit nécessaire pour énumérer ses éléments. Il est également connu comme le principe fondamental de l'analyse combinatoire; Il est basé sur une multiplication successive pour déterminer la façon dont un événement peut se produire.

Ce principe établit cela, si une décision (D1) Il peut être pris de n manières et une autre décision (D2) Les mneras peuvent être prises, le nombre total de façons dont les décisions peuvent être prises1 et d2 Ce sera la même chose que la multiplication de n * m. Selon le principe, chaque décision est prise après l'autre: nombre de façons = n1 * N2.. * NX façons.

Exemples

Exemple 1

Paula prévoit d'aller au cinéma avec ses amis et de choisir les vêtements qu'elle portera, séparez 3 chemisiers et 2 jupes. Combien de façons Paula peut s'habiller?

  • Solution

Dans ce cas, Paula doit prendre deux décisions:

d1 = Choisissez entre 3 chemisiers = n

d2 = Choisissez entre 2 jupes = m

De cette façon Paula a n * M décisions de prendre ou différentes façons de s'habiller.

n * m = 3* 2 = 6 décisions.

Le principe multiplicatif est né de la technique du diagramme des arbres, qui est un diagramme qui relie tous les résultats possibles, afin que chacun puisse se produire un nombre fini de fois.

Exemple 2

Mario avait très soif, alors il est allé à la boulangerie pour acheter un jus. Luis le sert et lui dit qu'il a en deux tailles: grand et petit; et quatre saveurs: pomme, orange, citron et raisins. Combien de façons Mario peut choisir le jus?

  • Solution

Dans le diagramme, on peut voir que Mario a 8 façons différentes de choisir le jus et que, comme dans le principe multiplicatif, ce résultat est obtenu par la multiplication de n*m. La seule différence est que grâce à ce diagramme, vous pouvez savoir quelles sont les façons dont Mario choisit le jus.

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D'un autre côté, lorsque le nombre de résultats possibles est très important, il est plus pratique d'utiliser le principe multiplicatif.

Compter les techniques

Les techniques de comptage sont des méthodes utilisées pour compter directement et connaissent ainsi le nombre d'arrangements possibles que les éléments d'un ensemble spécifique peuvent avoir. Ces techniques sont basées sur plusieurs principes:

Principe d'addition

Ce principe établit que, si deux événements M et N ne peuvent pas se produire en même temps, le nombre de façons que le premier ou le deuxième événement sera la somme de M + N:

Nombre de formulaires = m + n ... + x différentes formes.

Exemple

Antonio veut faire un voyage mais ne décide pas quelle destination; Dans la South Tourism Agency, ils offrent une promotion pour se rendre à New York ou à Las Vegas, tandis que la Eastern Tourism Agency recommande de voyager en France, en Italie ou en Espagne. Combien d'alternatives de voyage différentes offrent Antonio?

Solution

Avec la Southern Tourism Agency, Antonio a 2 alternatives (New York ou Las Vegas), tandis qu'avec la Eastern Tourism Agency, elle a 3 options (France, Italie ou Espagne). Le nombre de différentes alternatives est:

Nombre d'alternatives = m + n = 2 + 3 = 5 alternatives.

Principe de permutation

Il s'agit de commander spécifiquement tous ou certains éléments qui forment un ensemble, pour faciliter le comptage de toutes les dispositions possibles qui peuvent être prises avec les éléments.

Le nombre de permutations de n différents éléments, pris en même temps, est représenté comme:

nPn = n!

Exemple

Quatre amis veulent prendre une photo et veulent savoir combien de façons différentes peuvent être commandées.

Solution

Vous voulez connaître l'ensemble de toutes les manières possibles dont les 4 personnes peuvent être placées pour prendre la photo. Ainsi, vous devez:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 façons différentes.

Si le nombre de permutations de n éléments disponibles est pris par des parties d'un ensemble formé par des éléments R, il est représenté comme:

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nPR = n! ÷ (n - r)!

Exemple

Dans une salle de classe, vous avez 10 positions. Si 4 élèves assistent à la classe, combien de façons différentes des étudiants peuvent occuper les postes?

Solution

Le nombre total de chaises ensemble est de 10, et ceux-ci ne seront utilisés que 4. La formule donnée est appliquée pour déterminer le nombre de permutations:

nPr = n! ÷ (n - r)!

dixP4 = 10! ÷ (10 - 4)!

dixP4 = 10! ÷ 6!

dixP4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 façons d'occuper les positions.

Il y a des cas dans lesquels certains des éléments disponibles d'un ensemble sont répétés (ils sont égaux). Pour calculer le nombre d'arrangements, prenant tous les éléments en même temps que la formule suivante est utilisée:

nPr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

Exemple

Combien de mots différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot "loup"?

Solution

Dans ce cas, il y a 4 éléments (lettres) dont deux sont exactement les mêmes. En appliquant la formule donnée, on sait combien de mots différents sont:

nPr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 mots différents.

Principe de combinaison

Il s'agit de réparer tout ou partie des éléments qui forment un ensemble sans ordre spécifique. Par exemple, si vous avez un arrangement XYZ, cela sera identique aux arrangements ZXY, YZX, Zyx, entre autres; C'est parce que, bien qu'ils ne soient pas dans le même ordre, les éléments de chaque arrange.

Lorsque certains éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

nCR = n! ÷ (n - r)!r!

Exemple

Dans un magasin, ils vendent 5 différents types de chocolat. Combien de façons différentes de 4 chocolats peuvent être choisis?

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Solution

Dans ce cas, vous devez choisir 4 chocolats des 5 types qui se vendent dans le magasin. L'ordre dans lequel ils sont choisis n'ont pas d'importance et, en outre, un type de chocolat peut être choisi plus de deux fois. En appliquant la formule, vous devez:

nCr = n! ÷ (n - r)!r!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 façons différentes de choisir 4 chocolats.

Lorsque tous les éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

nCn = n!

Exercices résolus

Exercice 1

Vous avez une équipe de baseball avec 14 membres. Combien de façons 5 postes peuvent-ils être affectés à un jeu?

  • Solution

L'ensemble est composé de 14 éléments et vous souhaitez attribuer 5 positions spécifiques; c'est-à-dire que l'ordre compte. La formule de permutation est appliquée où n les éléments disponibles sont pris par des parties d'un ensemble formé par R.

nPR = n! ÷ (n - r)!

Où n = 14 et r = 5. Il est remplacé dans la formule:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 façons d'attribuer les 9 positions de jeu.

Exercice 2

Si une famille de 9 membres part en voyage et achète leurs billets avec des positions consécutives, combien de façons différentes peuvent s'asseoir?

  • Solution

Ce sont 9 éléments qui occuperont 9 sièges consécutivement.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 façons de s'asseoir.

Les références

  1. Hopkins, B. (2009). Ressources pour enseigner les mathématiques discrètes: projets en classe, modules d'histoire et articles.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Mathématiques discrètes. Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, l. POUR. (2012). Solveur de problèmes mathématiques finis et discrets. Éditeurs de la Research & Education Association.
  4. Padró, f. C. (2001). Mathématiques discrètes. Politique. de la Catalogne.
  5. Steiner, E. (2005). Mathématiques pour les sciences appliquées. Reverre.