Trigonométrique limite comment les résoudre, résoudre des exercices

Les limites trigonométriques Ce sont des limites des fonctions telles que ces fonctions sont formées par des fonctions trigonométriques.

Il y a deux définitions qui doivent être connues pour comprendre comment le calcul d'une limite trigonométrique est effectué. Ces définitions sont:

- Limite d'une fonction "f" lorsque "x" tend à "b": il consiste à calculer la valeur à laquelle F (x) s'approche alors que "x" s'approche "B", sans affirmer "B".

- Fonctions trigonométriques: les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente, notées respectivement par Sin (x), cos (x) et tan (x).

Les autres fonctions trigonométriques sont obtenues à partir des trois fonctions mentionnées ci-dessus.

Fonctions Limites

Pour clarifier le concept d'une limite de fonction, nous procéderons pour montrer quelques exemples avec des fonctions simples.

- La limite de f (x) = 3 lorsque "x" tend à "8" est égal à "3", car la fonction est toujours constante. Peu importe combien vaut "x", la valeur de f (x) sera toujours "3".

- La limite de f (x) = x-2 lorsque "x" tend à "6" est "4". Depuis quand "x" est proche de "6", alors "x-2" approche "6-2 = 4".

- La limite de g (x) = x² lorsque "x" tend à "3" est égal à 9, car quand "x" approche "3" alors "x²" approche "3² = 9".

Comme on peut le noter dans les exemples précédents, le calcul d'une limite consiste à évaluer la valeur à laquelle «x» tend dans la fonction, et le résultat sera la valeur de la limite, bien que cela ne soit vrai que pour les fonctions continues.

Y a-t-il des limites plus compliquées?

La réponse est oui. Les exemples précédents sont les exemples les plus simples de limites. Dans les livres de calcul, les principaux exercices de limite sont ceux qui génèrent une indétermine de type 0/0, ∞ / ∞, ∞ -∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 et (∞) ^ 0.

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Ces expressions sont appelées indéterminations car ce sont des expressions qui ont du sens mathématiquement.

En plus de cela, en fonction des fonctions impliquées dans la limite d'origine, le résultat obtenu lors de la résolution des indéterminations peut être différent dans chaque cas.

Exemples de limites trigonométriques simples

Pour résoudre les limites, il est toujours très utile de connaître les graphiques des fonctions impliquées. Vous trouverez ci-dessous les graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

Quelques exemples de limites trigonométriques simples sont:

- Calculez la limite sans (x) lorsque "x" tend à "0".

Voyant le graphique, vous pouvez voir que si "x" approche "0" (à la fois à gauche et à droite), alors le graphique du sein approche également "0". Par conséquent, la limite du péché (x) lorsque "x" tend à "0" est "0".

- Calculez la limite de Cos (x) lorsque "x" tend à "0".

Observant le graphique du cosinus, on peut voir que lorsque "x" est proche de "0", le graphique du cosinus est proche de "1". Cela implique que la limite de Cos (x) lorsque "x" tend à "0" est égal à "1".

Une limite peut exister (être un nombre), comme c'est le cas dans les exemples précédents, mais il peut également se produire qu'il n'existe pas comme indiqué dans l'exemple suivant.

- La limite de tan (x) lorsque "x" tend à "π / 2" à gauche est égal à "+ ∞", comme on peut le voir dans les graphiques. D'un autre côté, la limite de tan (x) lorsque "x" tend à "-π / 2" à droite est égal à "-∞".

Trigonométrique limite les identités

Deux identités très utiles lorsque les limites trigonométriques sont calculées sont:

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- La limite de "sin (x) / x" lorsque "x" tend à "0" est égal à "1".

- La limite de "(1-cos (x)) / x" lorsque "x" tend à "0" est égal à "0".

Ces identités sont utilisées très souvent lorsque vous avez une sorte d'indétermination.

Exercices résolus

Résolvez les limites suivantes en utilisant les identités décrites ci-dessus.

- Exercice 1

Calculez la limite de "f (x) = sans (3x) / x" lorsque "x" tend à "0".

Si la fonction «F» est évaluée dans «0», une indétermination du type 0/0 sera obtenue. Par conséquent, nous devons essayer de résoudre cette indétermination en utilisant les identités décrites.

La seule différence entre cette limite et cette identité est le nombre 3 qui apparaît dans la fonction sinusoïdale. Afin d'appliquer l'identité, la fonction «f (x)» doit être réécrite comme suit «3 * (sans (3x) / 3x)». Maintenant, l'argument du sein et le dénominateur sont égaux.

Ainsi, quand "x" tend à "0", l'utilisation de l'identité est "3 * 1 = 3". Par conséquent, la limite de f (x) lorsque "x" tend à "0" est égal à "3".

- Exercice 2

Calculez la limite de «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» lorsque «x» tend à «0».

Lorsque «x = 0» est remplacé en g (x), une indétermination du type ∞ -∞. Pour le résoudre, les fractions sont soustraites, ce qui donne en conséquence "(1-cos (x)) / x".

Maintenant, en appliquant la deuxième identité trigonométrique, la limite de g (x) est que "x" tend à "0" est égal à 0.

- Exercice 3

Calculez la limite de "h (x) = 4tan (5x) / 5x" lorsque "x" tend à "0".

Encore si h (x) est évalué en «0», une indétermination du type 0/0 sera obtenue.

Réécriture comme (5x) comme sans (5x) / cos (5x) il s'avère que h (x) = (sans (5x) / 5x) * (4 / cos (x)))).

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En utilisant que la limite de 4 / cos (x) lorsque «x» tend à «0» est égal à «4/1 = 4» et que la première identité trigonométrique est obtenue que la limite de H (x) lorsque «x» tend "0" est égal à "1 * 4 = 4".

Observation

Les limites trigonométriques ne sont pas toujours faciles à résoudre. Dans cet article, seuls des exemples de base ont été montrés.

Les références

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