Logique mathématique

Figure 1.- Les lois de la logique mathématique sont non seulement utilisées pour démontrer les théorèmes, mais s'appliquent également à de meilleures idées

Qu'est-ce que la logique mathématique?

La logique mathématique est la science qui étudie le raisonnement, à travers des propositions qui ne sont évaluées que de deux manières: vraie ou fausse. Il commence à partir d'une ou plusieurs déclarations, appelées "locaux", et d'autres réclamations sont obtenues d'eux, qui constituent la "conclusion".

En suivant certaines règles, il est possible de savoir si un argument est valide ou non, et bien que ces règles soient établies pour démontrer les théorèmes mathématiques, leur caractère est suffisamment général pour être appliqué dans de nombreuses situations de la vie quotidienne.

Par exemple, considérez les affirmations suivantes, qui sont les locaux:

1. Le Mexique est un pays en Amérique latine.
2. Fernando est mexicain.

Ensuite, la conclusion ou l'inférence qui est faite à partir de ces locaux est:

Fernando est latino-américaine

Notez que ces propositions sont écrites de telle manière qu'elles n'admettent aucune ambiguïté, c'est-à-dire qu'elles sont valides ou ne le sont pas, donc cette discipline est également connue sous le nom Logique binaire. La langue utilisée dans une proposition est concise et moins flexible que la langue quotidienne.

Par exemple, il n'est pas possible de déterminer s'ils sont des problèmes vrais ou faux tels que Quelle heure il est?, je veux aller au cinéma soit Quand allons-nous manger?, Par conséquent, ce ne sont pas des propositions logiques. Une proposition logique peut être vraie ou peut être fausse, mais pas les deux en même temps.

Brève histoire de la logique mathématique

La logique en tant que discipline de pensée avait son origine dans la Grèce antique, le même mot "logique" dérive du grec et peut être interprété comme la pensée et la raison.

De 600 à 300 à. C Environ les penseurs grecs ont posé les fondements de cette branche de la science, étant le principal Platon (427-347. C), son disciple aristote (384-322 à. C) et euclide (325-265 A. C), le père de la géométrie.

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Aristotle a écrit les premiers traités logiques dont vous avez des nouvelles, qui contiennent les premiers postulats de cette science. Ces postulats ont ensuite été développés par les philosophes scolastiques du Moyen Âge, qui les ont formalisés.

Plus tard, René Descartes (1596-1650) a proposé que la raison soit ce qui permet d'accéder à la connaissance et Gottfried Leibnitz (1646-1716) a apporté des contributions importantes aux opérations logiques.

La logique symbolique

Cependant, la logique a dû attendre de nombreuses années, pour donner une progression très importante et renforcer les liens avec les mathématiques. Cette avance est venue avec George Boole (1815-1864), le mathématicien anglais qui a inventé la logique symbolique en 1854 et l'a publiée dans le livre Les lois de la pensée. L'algèbre booléenne est toujours indispensable aujourd'hui dans l'informatique moderne.

Figure 2.- Le mathématicien George Boole (1815-1864)

Un autre auteur notable dans ce domaine était Augustus de Morgan (1806-1871), qui a établi les lois de Morgan pour l'expression de propositions logiques.

Déjà au XXe siècle, Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell (1872-1970) et d'autres auteurs ont établi que les vérités mathématiques sont certainement aussi des vérités logiques et ont ensuite créé une langue formelle pour les exprimer.

Ce qui étudie la logique mathématique?

L'objectif de la logique est d'étudier toutes les formes de raisonnement, quel que soit le domaine de la connaissance, il peut donc être appliqué à n'importe quelle branche de la science et aussi à la vie quotidienne. L'objet d'étude de la logique est Inférence, c'est-à-dire la conclusion qui est extraite des locaux.

Logique en mathématiques

Grâce aux mathématiques, il a une de ses expressions plus larges, car il est responsable de l'établissement de démonstrations et d'obtenir des conclusions basées sur les postulats précédents.

La langue de la logique

En mathématiques, la logique s'exprime par des symboles mathématiques, mais en général, il existe un certain nombre de règles pour établir des propositions, qui utilisent des connecteurs logiques tels que la conjonction, le déni et plus.

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Applications de la logique mathématique

La logique a de nombreuses applications en science, et en dehors de celles-ci, même si elle n'est pas gérée avec toute la formalité requise, dans la vie quotidienne, elle aide les gens à se connecter et à mieux comprendre leur environnement, ainsi qu'à organiser leurs idées et à rendre les décisions plus rentables.

Mathématiques

Logic aide les démonstrations mathématiques à avoir toute la rigueur nécessaire.

l'informatique

La logique est le fondement des ordinateurs, puisque les deux conditions: vrai et fausse, peuvent être représentées par différentes valeurs de tension qui alimentent un transistor. Les portes logiques peuvent prendre une valeur actuelle à l'entrée et la transformer en une autre à la sortie pour représenter les différentes opérations logiques.

Attribution des numéros 1 et 0 aux conditions de True et False, le système binaire avec lequel d'innombrables opérations peuvent être effectuées est développée.

Exemples de propositions

Dans les exemples suivants, il existe des propositions simples, indiquées avec une petite lettre suivie de deux points, bien que d'autres auteurs les dénotent avec des lettres majuscules:

p: 2 + 3 = 5 (true)
q: Les chats sont des mammifères (vrai)
r: 4 est inférieur à 1 (faux)
S: Tous les nombres sont étranges (faux)
T: Madrid est la capitale de l'Espagne (vrai)
W: Tous les nombres rationnels sont naturels (faux)
Z: Les nombres négatifs manquent de racine carrée réelle (vraie)

Entre parenthèses est la valeur de vérité de la proposition, qui est la qualité d'être vraie ou non. Cette valeur peut également être indiquée par les numéros 1 et 0 et pour qu'une phrase soit une proposition logique, il est nécessaire qu'il puisse être tag.

D'un autre côté, les expressions suivantes ne sont pas des propositions logiques:

• Sors d'ici!
• Bonjour comment-allez vous?
• Une belle journée
• x + 5 = 16

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Aux ordres et questions, il n'est pas possible de leur attribuer une valeur de vérité, ce ne sont donc pas des propositions logiques. Quant à la troisième proposition, il n'est pas possible de s'assurer que la journée est belle partout ou pour tout le monde.

Enfin, dans l'équation x + 5 = 16, ce n'est pas possible.

Les propositions présentées sont très simples, mais il existe différentes classes. En général, ils peuvent être:

Simple

Aussi appelé Atomique, Ils contiennent trois parties: sujet, verbe et complément, comme les propositions indiquées ci-dessus.

Composés

Ils se composent de deux ou plusieurs propositions simples liées par un connecteur logique, donc ils sont appelés Moléculaire:

p: Luis Come Pasta et Baby Refresco
q: Aujourd'hui est mardi et il fait froid
r: Si x + 5 = 16, alors x = 11

Fermé et ouvert

Les propositions fermées sont celles dont le sujet est déterminé, tandis que dans les propositions ouvertes, elle n'est pas. Notez que certaines propositions appartiennent à plus d'une catégorie:

p: Luis Come Pasta et Baby Refresco (fermé et composé)
q: Il ne fonctionne pas très vite (ouvert et simple)
r: 8 + 2 = 10 (fermé et simple)

Affirmatif et négatif

Ils sont affirmatifs lorsqu'ils garantissent l'existence d'un fait et négatifs lorsqu'ils le nient:

p: Laura a 25 ans (simple, affirmative et fermée)
q: Barcelone n'est pas la capitale de l'Espagne (simple, négative et fermé)

Vrai et faux

Les propositions sont vraies lorsqu'ils correspondent à un fait réel et faux lorsque l'inverse se produit. Au début, il y avait des propositions vraies et autres, voici quelques autres:

P: Les dauphins ne sont pas des animaux marins (simple, faux et négatif)
Q: Les années de saut sont de 365 jours (faux, affirmatifs et simples)
UN: │-5 + 1│> 0 (simple, vrai et affirmatif).
S: 7 est un nombre premier (simple, vrai et affirmatif)

Les références

1. Becerra, J.M.  Notes logiques Unam.
2. López, f. Introduction à la logique mathématique. Récupéré de: youtube.com
3. Muñoz, C. Introduction à la logique. Récupéré de: sites Web.Ucm.est.
4. Párraga, o. Logique: propositions. Récupéré de: youtube.com
5. Pomata, f. Qu'est-ce que la logique et à quoi sert? Récupéré de: Sciencesdelsur.com.