Bloquer des éléments d'algèbre, des exemples, des exercices résolus

Il Algèbre de blocage Il se réfère à l'ensemble d'opérations qui sont exécutés à travers des blocs. Ces éléments et certains autres servent à représenter schématiquement un système et visualisent facilement votre réponse à une entrée spécifique.

En général, un système contient divers éléments électriques, électroniques et électromécaniques, et chacun d'eux, avec leur fonction et leur position respectives dans le système, ainsi que la façon dont ils sont liés, est schématique à travers des blocs fonctionnels.

Figure 1.

Dans la figure ci-dessus, il existe un système très simple, qui se compose d'un signal d'entrée x (s), qui entre dans le bloc avec la fonction de transfert G (s) qui le modifie et produit la sortie y (s).

Il est pratique de représenter les signaux et leur voyage à travers le système à travers des flèches qui entrent et quittent chaque bloc. Habituellement, le flux de signal est dirigé de gauche à droite.

L'avantage de ce type de schéma est l'aide visuelle qu'elle fournit pour comprendre le système, bien qu'elle ne constitue pas une représentation physique de la même. En fait, le schéma de bloc n'est pas unique, car selon le point de vue, même plusieurs diagrammes du même système peuvent être dessinés.

Il peut également arriver que le même diagramme soit utilisé pour plusieurs systèmes qui ne sont pas nécessairement liés les uns aux autres, à condition que son comportement décrit correctement. Il existe différents systèmes dont la réponse est similaire à de nombreux aspects, par exemple un circuit LC (canal d'inductance) et un système de rattrapage en masse.

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Qu'est-ce qu'un diagramme de blocs?

Les systèmes sont généralement plus compliqués que celui de la figure 1, mais l'algèbre de blocs fournit une série de règles simples pour manipuler le schéma du système et la réduire à sa version la plus simple.

Comme expliqué au début, le diagramme utilise des blocs, des flèches et des cercles pour établir la relation entre chaque composant système et le flux des signaux qui le traversent.

L'algèbre de blocage permet de comparer deux ou plusieurs signaux par la somme, la soustraction et la multiplication, ainsi que d'analyser la contribution que chaque composant apporte au système.

Grâce à cela, il est possible de réduire l'ensemble du système en un seul signal d'entrée, une fonction de transfert unique qui décrit complètement l'action du système et la sortie correspondante.

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Éléments de diagramme de blocs

Les éléments du diagramme de blocs sont les suivants:

Le signal

Les signaux sont très variés, par exemple, il est courant qu'il s'agisse d'un courant électrique ou d'une tension, mais il peut être brillant, sain et plus. L'important est qu'il contient des informations sur un certain système.

Le signal est indiqué avec une majuscule s'il est fonction de la variable s de la transformée de Laplace: x (s) (voir figure 1) ou avec des minuscules s'il est basé sur le temps t, comme x (t).

Dans le diagramme de bloc, le signal d'entrée est représenté par une flèche dirigée vers le bloc, tandis que le signal de sortie, désigné Y (S) ou (T), est indiqué par une flèche sortante.

Le signal d'entrée et de sortie est unique et l'adresse dans laquelle l'information circule est déterminée par la direction de la flèche. Et l'algèbre est la même pour l'une ou l'autre des deux variables.

Le bloc

Le bloc est représenté par un carré ou un rectangle (voir figure 1) et peut être utilisé pour effectuer des opérations ou mettre en œuvre la fonction de transfert, qui est généralement indiquée avec la lettre majuscule G. Cette fonction est un modèle mathématique par lequel la réponse offerte par le système est décrite avant un signal d'entrée.

La fonction de transfert peut être exprimée en termes de temps t comme g (t) ou la variable s comme g (s).

Lorsque le signal d'entrée x arrive au bloc, il est multiplié par la fonction de transfert et se transforme en signal de sortie y (s). Mathématiquement, il est exprimé comme suit:

Et (s) = x (s).G (s)

De même, la fonction de transfert est le rapport entre la transformée de Laplace du signal de sortie et la transformée de Laplace du signal d'entrée, à condition que les conditions initiales du système soient nulles:

G (s) = y (s) / x (s)

Point de somme

La somme ou l'été est symbolisée par un cercle avec une croix à l'intérieur. Il est utilisé pour combiner, par des sommes et de la soustraction, deux signaux ou plus. À la fin de la flèche qui symbolise le signal, un signe + est placé directement si ce signal est ajouté ou un signe - si soustrait.

Dans la figure suivante, il y a un exemple du fonctionnement de l'été: vous avez le signal d'entrée x, à quels signaux a et b sont ajoutés, obtenant en conséquence la sortie et, qui équivaut algébriquement:

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Y = x + a + b

Figure 2. Exemple d'application. Source: F. Zapata.

Point de branchement

Il s'appelle aussi Point de bifurcation. Le signal qui sort d'un bloc est distribué à d'autres blocs ou à un panache. Il est représenté par un point placé sur la flèche du signal et une autre flèche en vient qui redirige le signal vers une autre partie.

figure 3. Point de branchement. Source: F. Zapata.

Exemples de blocs de l'algèbre de blocs

Comme expliqué précédemment, l'idée est d'exprimer le système à travers le schéma de bloc et de le réduire pour trouver la fonction de transfert qui la décrit. Voici les règles de l'algèbre de bloc pour simplifier les diagrammes:

Blocs en cascade

Lorsque vous avez un signal qui passe successivement à travers les blocs G₁, g₂, g₃..., il est réduit à un bloc unique dont la fonction de transfert est le produit de g₁, g₂, g₃..

Dans l'exemple suivant, le signal x (s) entre dans le premier bloc et sa sortie est:

ET₁(s) = x (s).g₁(S)

Figure 4. Deux blocs en cascade. Source: F. Zapata.

À son tour et₁(S) Entrez le bloc G₂(s), dont le départ est:

ET₂(s) = x (s).g₁(S). g₂(S)

La procédure est valable pour n blocs en cascade:

ET_n (s) = x (s). g₁(S).g₂(S) ... g_n(S)

Blocs en parallèle

Dans le diagramme de gauche, la bifurque de signal x (s) pour entrer dans les blocs G₁(S) et g₂(S):

Figure 5. Deux blocs en parallèle. Source: F. Zapata.

Les signaux de sortie respectifs sont:

ET₁(s) = x (s).g₁(S)

ET₂(s) = x (s).g₂(S)

Ces signaux sont ajoutés pour obtenir:

C (s) = y₁(s) +₂(s) = x (s).[G₁(s) + g₂(s)]

Comme indiqué dans le schéma droit à droite.

Déplacer un prétendant vers la gauche

Un été peut se déplacer à gauche du bloc comme suit:

Figure 6. Déplacez le adjoint à gauche du bloc. Source: F. Zapata.

À gauche, le signal de sortie est:

C (s) = r (s). G (s) - x (s)

Équivalent à la droite:

C (s) = [r (s) - x (s) / g (s)]].G (s)

Déplacez-vous à droite

L'été peut se déplacer à droite du bloc comme ceci:

Figure 7. Déplacez un tracé à droite du bloc. Source: F. Zapata.

À gauche, vous avez: [r (s) - x (s)].G (s) = c (s)

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Et à droite:

R (s). G (s) - x (s).G (s) = c (s)

Déplacer un point de bifurcation de gauche à droite

Pour déplacer le point de bifurcation de gauche à droite du bloc, il suffit d'observer que la sortie C (s) à droite est le produit x (s).G (s). Comme vous voulez redevenir x (s), il est multiplié par l'inverse de g (s).

Figure 8. Déplacer un point de branche de gauche à droite. Source: F. Zapata.

Déplacer un point de bifurcation de droite à gauche

Alternativement, le point de bifurcation peut se déplacer de droite à gauche comme suit:

Figure 9. Déplacer un point de branche de droite à gauche. Source: F. Zapata.

Étant donné que la sortie de la bifurcation veut obtenir C (s), un nouveau bloc G (s) est simplement entrecoupé à un point de bifurcation à gauche du bloc d'origine.

Système avec rétroaction

Dans le système suivant, le signal de sortie C (s) est alimentaire via le soumis à gauche:

Figure 10. Système avec rétroaction. Source: F. Zapata.

C (s) = e (s).G (s)

Mais:

E (s) = r (s) -c (s)

Le remplacement de cette expression dans l'équation précédente est: c (s) = [r (s) -c (s)]]].G (s), à partir de laquelle c (s) peut être éliminé:

C (s) + c (s).G (s) = r (s).G (s) → c (s). [1 + g (s)] = r (s).G (s)

C (s) = r (s).G (s) / [1 + g (s)]

Ou alternativement:

C (s) / r (s) = g (s) / [1 + g (s)]]

Graphiquement, après avoir simplifié le cas:

Figure 11. Simplification d'un système avec rétroaction. Source: F. Zapata.

Système avec rétroaction et transducteur

Le transducteur se compose de la fonction de transfert H (s):

Figure 12. Système avec rétroaction et transducteur. Source: F. Zapata.

Dans le bon diagramme, le signal de sortie C (s) est:

C (s) = e (s). G (s) avec e (s) = r (s) - c (s).H (s)

Ensuite:

C (s) = [r (s) - c (s). H (s)]. G (s)

C (s) [1+ h (s).G (s)] = r (s).G (s)

Par conséquent, C (s) peut être effacé par:

C (s) = g (s).R (s) / [1+ h (s).G (s)]

Et la fonction de transfert sera:

G (s) / [1+ h (s).G (s)]

Comme indiqué dans le schéma à droite simplifié.

Exercices résolus

Exercice 1

Trouvez la fonction de transfert du système suivant:

Figure 13. Système de deux blocs en cascade. Source: F. Zapata.

Solution

Ce sont deux blocs en cascade, donc la fonction de transfert est le produit des fonctions g₁ et g₂.

Il faut que:

g₁ = 2 / s

g₂ = 2 / (s + 1)

Par conséquent, la fonction de transfert recherché est:

G (s) = 4 / [s (s + 1)]

Exercice 2

Réduisez le système suivant:

Figure 14. Simplification d'un système. Source: F. Zapata.

Solution

D'abord la cascade G est réduite₂, g₃ et g_4, Et le parallèle g est séparé₅ et g₆:

Figure 15. Réduction centrale de la cascade. Source: F. Zapata.

Ensuite, le prétendant à gauche du bloc G₂ ⋅g₃ ⋅ g₄ Il se déplace vers la droite:

Figure 16. Transfert de l'administrateur. Source: F. Zapata.

Les étés de la droite sont réduits à un, ainsi que les blocs en cascade:

Figure 17. Réduction de la nouvelle cascade et des étés de la droite. Source: F. Zapata.

Enfin, la sortie du système est:

Et (s) = x (s) ⋅g₁⋅ g₂ ⋅g₃ ⋅ g₄ + C (s) ⋅ [g₅ - g₆ ⋅ g₂ ⋅g₃ ⋅ g₄]]

Les références

1. Alaydi, J. Contrôle du diagramme de blocs système. Récupéré de: site.iugaza.Édu.$.
2. Bolton, W. 2006. Technique de contrôle. 2e. Édition. Alpha Omega.
3. Cwalinsky, J. Introduction à l'algèbre du bloc système. Récupéré de: cederengineering.com.
4. DADEMUCHCONNECTION. Schéma de blocs. Récupéré de: Dademuch.com.
5. Ogata, k. 2010. Ingénierie du contrôle moderne. 5e. Édition. Pearson.