Hiérarchie des opérations

Hiérarchie des opérations mathématiques. Source: F. Zapata.

Quelle est la hiérarchie des opérations?

La Hiérarchie des opérations Les mathématiques se compose d'une série de règles qui établissent la priorité des différentes opérations dans un calcul. Certaines opérations doivent être effectuées en premier et d'autres plus tard, pour garantir le résultat correct.

Il est courant que dans le même calcul, il existe des symboles de regroupement, de sommes, de soustraction, de multiplications, de divisions et de pouvoirs, et alors il vaut la peine de demander lequel de tous commence.

Par exemple, dans l'opération suivante:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Quelle partie de celle-ci est faite en premier?

Pour éviter les ambiguïtés, les mathématiciens ont établi que chaque opération a un niveau ou une hiérarchie différente qui indique l'ordre de sa réalisation, bien que le même calcul ne contienne pas nécessairement tous les niveaux.

Dans l'exemple proposé, la première opération consiste à éliminer les parenthèses, à résoudre l'opération indiquée en eux puis à effectuer le carré, puis à effectuer les multiplications et enfin les sommes:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Avec un peu de pratique et une aide à la mémoire, il n'est pas difficile d'obtenir toujours le résultat correct dans une opération mathématique.

Niveaux d'opérations: pemdas

La hiérarchie des opérations se compose de 4 niveaux:

• Premier niveau:  PArmentèse et autres signes de regroupement (le cas échéant)
• Second niveau: ETXponents et racines
• Troisième niveau: MUltiplications et DIvitions
• Quatrième niveau:  POURDictions et SUstractions

Notez que les initiales de chaque opération sont mises en évidence en gras: P-e-md-as Former le mot Pemdas.

Ce mot sert de rappel pour l'ordre dans lequel les opérations doivent.

Une fois la hiérarchie établie, une série d'indications sera donnée pour travailler avec les signes de regroupement et enfin de nombreux exemples et des exercices résolus qui clarifient chaque point expliqué.

Opérations avec et sans signes de regroupement

Pour effectuer des opérations avec et sans signes de regroupement, ces indications doivent garder à l'esprit:

• Les symboles ou signes de regroupement sont utilisés pour faciliter les calculs, exprimant un ordre spécifique pour chaque opération. Il commence par résoudre les opérations contenues dans le signe le plus interne, qui est généralement une parenthèse, puis celle qui suit et enfin la plus externe. Les signes de groupe les plus utilisés sont les suivants: parenthèses (), supports [] et clés .
• En tout temps, la loi des panneaux doit être prise en compte et s'appliquer en fonction du type d'opération effectuée:
  • Un groupe de groupe précédé d'un signe + est éliminé sans qu'il soit nécessaire pour modifier les signes du contenu. Exemple: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Lorsque les signes de groupe précédés d'un panneau seront éliminés - vous devez modifier les signes du contenu. Exemple: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Cruz "×" symboles et hauteur moyenne "∙".
• Si des groupes de parenthèses apparaissent sans un signe entre eux, c'est une multiplication, ou si un nombre à côté d'une parenthèse apparaît, il multiplie le contenu. Exemples: (−5) (4) = −20 et 7 (5 + 1) = 42.
• Pour la multiplication et la division, la loi des signes établit que:
  • Le produit ou le rapport de deux nombres de signes égaux est toujours positif. Exemple: (−3) × (−4) = 12
  • Lorsque vous avez le produit ou le rapport de deux nombres de signes différents, le résultat est toujours négatif. Exemple: (−48) ÷ 6 = −8
• Lorsque l'opération n'a aucun signe de regroupement, cet ordre est suivi: d'abord les exposants et les racines sont résolus s'il y en a, alors les multiplications et les divisions et enfin les sommes et les soustractions.
• Les opérations qui ont la même hiérarchie sont effectuées de gauche à droite.

Peut vous servir: échantillonnage de quota: méthode, avantages, inconvénients, exemples

Exemples étape par étape

Exemples d'utilisation de la hiérarchie des opérations arithmétiques pour résoudre les opérations

Exemple 1: opérations sans regroupement de signes

Résolvez les opérations suivantes sans signes de regroupement:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Cette opération ne se compose que de sommes et de la soustraction, qui sont au même niveau et peuvent fonctionner simultanément, par exemple:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3 × 4 + 31

Ici, la multiplication 3 × 4 = 12 doit être résolue d'abord, puis nous procédons pour ajouter les résultats de celui-ci:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

L'opération contient une puissance, il est donc résolu premier 3³ = 27 puis quels résultats:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 -4² + 10 ÷ 2 - 26

Cette opération contient de la puissance, de la multiplication, de la division et de la soustraction. Puissance 4² = 16 va en premier:

4 × 3−4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26

Suivez ensuite la multiplication et la division 4 × 3 = 12 et 10 ÷ 2 = 5

4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12−16 + 5 - 26

Et le résultat est ajouté:

12−16 + 5 - 26 = - 25

Exemple 2: Opérations avec des signes de regroupement

Résolvez les opérations suivantes avec le symbole de regroupement, en tenant compte du fait que l'opération qui enferme le symbole doit d'abord être effectuée, puis appliquer la loi des signes.

a) 4 × 2 (3 + 6) ÷ 3

La parenthèse doit être éliminée en premier. Lors de la résolution de l'opération qui contient le symbole, il est obtenu:

4 × 2 (3 + 6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

De cette façon, une opération avec produit et quotient est obtenue. Notez que le 2 qui précède la parenthèse symbolise également un produit, bien que le symbole de multiplication n'apparaît pas, il peut donc être écrit:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Ces opérations ont la même priorité, elles sont donc résolues en même temps, de gauche à droite:

Peut vous servir: fonction échelonnée: caractéristiques, exemples, exercices

= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Ici, l'opération est effectuée dans la parenthèse et calcule la puissance:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Ensuite, la division indiquée est effectuée:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Enfin les sommes et la soustraction:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

Dans cette opération, la parenthèse est d'abord résolue, car c'est le symbole de groupe le plus interne:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Maintenant, il y a une puissance à l'intérieur du support, qui implique un entier négatif. On sait que si la base est négative et que l'exposant est impair, le résultat est négatif, donc le plus pratique est de résoudre cette opération:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Ensuite, la loi des signes est appliquée au quotient (−8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 et la suivante reste:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

À l'étape suivante, le support est éliminé, remarquant qu'il est précédé d'un signe négatif, ce qui signifie que le contenu des signes dans le support doit changer:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Il est observé qu'il existe une division dans le support qui n'a pas encore été effectuée et doit être exécutée, car les clés, en tant que symbole de regroupement, souligne que cette opération a la priorité:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

Peut vous servir: produits notables

Encore une fois, l'opération entre les clés a la priorité:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Comme il n'y a pas de symbole entre 4 et la quantité entre les touches, c'est une multiplication:

4 - 17 = - 68

Exercices résolus

Déterminer le résultat des opérations suivantes:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10-22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Solution à

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12−16 + 86 = 82

Solution B

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Les références

1. Baldor, un. 2007. Arithmétique théorique pratique. Groupe de rédaction Patria S.POUR. de c.V.
2. Profitez des mathématiques. L'ordre des opérations de pemdas. Récupéré de: Priematimaticas.com
3. Institut Monterey. Ordre des opérations. Récupéré de: montereyinstitute.org.
4. Université technologique de Chihuahua. Cours de nivellement des mathématiques. Récupéré de: www.utch.Édu.mx.