Propriétés Heptadecágono, diagonales, périmètre, zone

Il heptadecágono C'est un polygone ordinaire de 17 côtés et 17 sommets. Sa construction peut être effectuée dans le style euclidien, c'est-à-dire en utilisant uniquement la règle et la boussole. C'était le grand génie des mathématiques Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ne comptant que 18 ans, qui a trouvé la procédure pour sa construction en 1796. 

Apparemment, Gauss s'est toujours senti très enclin à cette figure géométrique, au point que depuis le jour où il a découvert sa construction, il a décidé d'être mathématicien. On dit également qu'il voulait que l'heptadecágono soit enregistré sur sa pierre tombale.

Figure 1. Heptadecágono est un polygone régulier de 17 côtés et 17 sommets. Source: F. Zapata.

Gauss a également trouvé la formule pour déterminer quels polygones réguliers ont la possibilité d'être construits avec une règle et une boussole, car certains n'ont pas de construction euclidienne exacte.

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Caractéristiques de l'heptadecágono

Quant à ses caractéristiques, comme chaque polygone, la somme de ses angles internes est important. Dans un polygone régulier de n côtés, la somme est donnée par:

SA (n) = (n -2) * 180º.

Pour l'heptadecágono, le nombre de côtés n est 17, Ce qui signifie que la somme de ses angles internes est:

SA (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.

Cette somme, exprimée dans les radianes, est comme ceci:

SA (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π

À partir des formules précédentes, il peut être facilement déduit que chaque angle interne d'un heptadecágono a une mesure α exacte donnée par:

α = 2700º / 17 = (15/17) Radians π

Il s'ensuit que l'angle interne est approximativement:

α ≈ 158 824º

Diagonales et périmètre

La diagonale et le périmètre sont d'autres aspects importants. Dans n'importe quel polygone, le nombre de diagonales est: 

D = n (n - 3) / 2 et dans le cas d'Hepadecágono, comme N = 17, Vous devez D = 119 diagonales.

Peut vous servir: trinomial

D'un autre côté, si la longueur de chaque côté du heptadecágono est connue, alors le périmètre de l'heptadecágon régulier ajoute simplement 17 fois cette longueur, ou ce qui est équivalent 17 fois la longueur d De chaque côté:

P = 17 D

Périmètre de heptadecágono 

Parfois, seule la radio est connue r du heptadecágono, il est donc nécessaire de développer une formule pour cette affaire.

À cette fin, le concept de apothème. Apotheme est le segment qui va du centre du polygone ordinaire au point médian d'un côté. L'apothème par rapport au côté est perpendiculaire à ce côté (voir figure 2).

Figure 2. Les parties d'un polygone radio r régulier et de son apothème sont montrées. (Élaboration propre)

De plus, l'apothem est une bissectrice de l'angle avec le sommet central et les côtés sur deux sommets consécutifs du polygone, cela permet de trouver une relation entre la radio r Et le côté d.

Si ça s'appelle β à l'angle central Biche Et en tenant compte de cet apothème OJ est bissectrice que vous avez Ex = d / 2 = r sen (β / 2), où vous avez une relation pour trouver la longueur d sur le côté d'un polygone connu sa radio r et son angle central β:

D = 2 r sin (β / 2)

Dans le cas de Heptadecágon β = 360º / 17 Pour ce que vous avez:

D = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 R

Enfin, la formule du périmètre du heptadecágono connu son rayon est obtenue:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 R

Le périmètre d'un heptadecágonon PCIR = 2π r ≈ 6.2832 R.

Zone

Pour déterminer la zone de Heptadecágono, nous nous référerons à la figure 2, qui montre les côtés et l'apothème d'un polygone régulier de n côtés. Dans cette figure, le triangle Eod Il a une zone égale à la base d (côté polygone) par hauteur pour (Polygone apothem) divisé par 2:

Il peut vous servir: série de puissance: exemples et exercices

Eod = (d x a) / 2

Donc, cet apothème connu pour du heptadecágono et du côté d De même est:

Area Heptadecágono = (17/2) (D x a)

Zone donnée

Pour obtenir une formule pour la région de Heptadecágono connaissant la longueur de ses dix-sept côtés, il est nécessaire d'atteindre une relation entre la longueur d'apothème pour Et le côté d.

En référence à la figure 2, vous avez la relation trigonométrique suivante:

Tan (β / 2) = par exemple / oj = (d / 2) / a, être β à l'angle central Biche. Alors cet apothème pour peut être calculé si la longueur est connue d du côté polygone et de l'angle central β:

A = (d / 2) cotan (β / 2)

Si cette expression pour Apothem est remplacée maintenant, dans la formule de la zone Heptadecágono obtenue dans la section précédente, vous avez:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) Cotan (β / 2)

Être β = 360º / 17 Pour l'heptecágono, vous avez donc enfin la formule souhaitée:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) Cotan (180º / 17)

Zone donnée par la radio

Dans les sections précédentes, une relation entre le côté D d'un polygone ordinaire et de sa radio R avait été trouvée, ce qui suit était: Ce qui suit: Ce qui suit est:

D = 2 r sin (β / 2)

Cette expression pour d Il est introduit dans l'expression obtenue dans la section précédente pour la zone. Si les substitutions et simplifications pertinentes sont effectuées, la formule qui permet de calculer la zone Heptadecágono est obtenue:

Area Heptadecágono = (17/2) (R²) Péché (β) = (17/2) (R²) Sen (360º / 17)

Une expression approximative pour la zone est:

Area Heptadecágono = 3 0706 (R²) 

Comme prévu, cette zone est un peu moins que la zone du cercle qui circonscrit à l'heptadecágon POUR_Circuire = π r² ≈ 3 1416 r². Pour être précis, il est 2% inférieur à celui de son cercle circonscrit.

Peut vous servir: zone d'un pentagone régulier et irrégulier: comment il est pris, exerce

Exemples

Exemple 1

Pour qu'un heptadecágono ait 2 côtés de 2 cm, quelle valeur le rayon et le diamètre de la circonférence circonscrits devraient-ils avoir? Trouvez également la valeur du périmètre.

Pour répondre à la question, il est nécessaire de se souvenir de la relation entre le côté et le rayon d'un polygone ordinaire de n côtés:

 D = 2 r Sen (180º / n)

Pour heptadecágono N = 17, Pour ce que D = 0,3675 R, Autrement dit

10 8844 cm de diamètre.

Le périmètre d'un heptadecágon latéral de 2 cm est p = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exemple 2

Combien coûte la zone d'un heptadecágono de 2 cm ordinaire?

Il est nécessaire de se référer à la formule démontrée dans la section précédente, qui permet de trouver la zone d'un heptadecágono lorsque la longueur est d De son côté:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) / Tan (180º / 17) 

Lors du remplacement D = 2 cm dans la formule antérieure sont obtenus:

Zone = 90,94 cm

Les références

1. C. ET. POUR. (2003). Éléments de géométrie: avec des exercices et une géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, f. J. (2014). Mathématiques 2. Groupe éditorial de Patria.
3. Libéré, k. (2007). Découvrir les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. Iger. (s.F.). Mathématiques Premier semestre Tacaná. Iger.
6. JR. Géométrie. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Sada, m. 17 côtés réguliers avec une règle et une boussole. Récupéré de: Geogebra.org
10. Wikipédia. Heptadecágono. Récupéré de: est.Wikipédia.com