Estimation ponctuelle

Nous expliquons quelle est l'estimation ponctuelle, ses propriétés, ses méthodes. De plus, nous avons mis un exemple et résolu des exercices

Quelle est l'estimation ponctuelle?

La Estimation ponctuelle Parmi les paramètres statistiques de certaines caractéristiques de la population, c'est celle qui est effectuée à partir d'un ou plusieurs échantillons de cette caractéristique, représentée comme une variable aléatoire.

Les populations peuvent être diverses: les femmes d'une ville, les patients d'un hôpital, les vis fabriquées par une certaine industrie en un mois et bien d'autres.

Dans la population de femmes dans une ville, une étude statistique peut se concentrer sur diverses caractéristiques de cette population: par exemple la taille des chaussures, la taille, la taille de la taille, la couleur des cheveux, le nombre d'enfants, l'âge et d'innombrables autres caractéristiques.

Une fois que la population et la caractéristique qui souhaitent subir une étude statistique sont choisies, un échantillon de taille est choisi n, qui est généralement assez plus petit que la taille N de la population totale.

Propriétés de l'estimation ponctuelle

Connu les données d'un échantillon, qui sont représentées par une variable aléatoire X, Ceux-ci sont représentés par un ensemble de n Nombres réels: (x₁, X₂,.. ., X_n).

Avec ces données, certaines statistiques de l'échantillon peuvent être calculées:

• Exemple de moyenne: = (x₁+X₂,.. ., +X_n) / n.
• Exemple de variance: S² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{n ‾} )²] / n.
• Échantillon quasi-Variza: SC² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{n ‾})²] / (N _‾ 1).

Distribution normale d'une population avec valeur centrale μ et déviation sigma σ

D'un autre côté, le Moyenne de la population μ et la variance de la population σ² Ils auraient besoin de connaissances de toutes les données de la population totale, qui a une taille N >> n. Par conséquent, il est souvent irréalisable de connaître exactement les paramètres de la population.

Compte tenu de cela, les valeurs de la population sont généralement approximatives par les valeurs d'échantillon Estimation ponctuelle. SCe sera bon ou mauvais, selon principalement de la quantité de données et de la qualité de l'échantillon. L'échantillon est connu comme le estimateur.

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Un bon estimateur doit avoir certaines caractéristiques ou propriétés souhaitables:

• La cohérence
• Variation minimale 
• Efficacité.

1.- La cohérence

Un échantillon doit avoir un nombre suffisant de données afin que l'estimation des paramètres soit cohérente. Par exemple, si trois échantillons ou plus sont prélevés et que les statistiques des échantillons sont très différentes les unes aux autres, il ne serait pas approprié de prendre aucun de ces résultats comme estimation spécifique. 

Dans la plupart des cas, il suffit de prendre des échantillons de plus grand nombre de données, de sorte que les paramètres statistiques obtenus à partir d'eux commencent à montrer la convergence ou la coïncidence, toujours avec une certaine tolérance. Dans le cas où il n'y a pas de convergence, malgré l'augmentation des données, leur qualité devrait être examinée, car ils pourraient avoir des biais, ou ils ont tout simplement été pris.

2.- Variabilité minimale

Si plusieurs estimateurs sont disponibles dont les valeurs moyennes coïncident avec une certaine tolérance, celles qui ont la moindre variance de l'échantillon sont choisies.

3.- Efficacité

Un estimateur n est efficace à partir du moment où les variances d'échantillon des bas tendent à zéro, car n tend à l'infini. Est ce qu'on appelle Efficacité asymptotique de l'estimateur.

Méthodes

Voici quelques pratiques ou méthodes qui permettront de faire une estimation ponctuelle réussie des paramètres de population, à partir d'un échantillon.

1.-Partition aléatoire

La partition aléatoire d'un échantillon pour vérifier la cohérence est utilisée. Cette méthode consiste à prélever un échantillon de n taille et à la diviser au hasard en deux échantillons, de taille n / 2 chacun.

Si la moyenne de l'échantillon et la variance de l'échantillon coïncident avec un certain nombre de chiffres significatifs, généralement 2 ou 3 chiffres, alors on peut dire qu'il y a une cohérence entre eux.

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D'un autre côté, s'il y a une coïncidence au niveau des chiffres significatifs entre les paramètres statistiques calculés avec l'échantillon de taille n d'origine et les deux sous-arcs, il y a également une convergence, et il peut être affirmé que la taille de l'échantillon est suffisante. Sinon, il serait nécessaire de prendre des données supplémentaires, d'augmenter la quantité d'échantillons de données.

2.- Méthode de mode

Cette méthode consiste à correspondre aux moments d'un échantillon aléatoire de la taille n, avec ceux obtenus auprès du candidat de la distribution d'échantillon. Si la distribution des candidats a des paramètres M, il sera nécessaire de correspondre à M moments.

3.- Méthode de crédibilité maximale

Il a été proposé par Fisher, l'un des parents de sciences statistiques, il y a environ cent ans. Il consiste à optimiser ou maximiser la probabilité d'occurrence d'un certain ensemble de valeurs d'échantillon.

Exemple

Supposons que le comportement d'une certaine variable de population suit une distribution exponentielle, dont la densité de probabilité est donnée par:

 f (x; λ) = λ ⋅ exp (−λule)

C'est clairement une seule distribution de paramètres λ.

Pour faire une estimation dudit paramètre de population, un échantillon aléatoire de n taille n peut être utilisé, dont les résultats sont les suivants: (x₁, X₂,.. ., X_n)

Le premier moment de l'échantillon est obtenu, qui est la valeur moyenne, à travers:

= (x₁ + X₂ +… + X_n) / n

On peut démontrer que le premier moment de distribution exponentielle est l'intégrale de 0 à l'infini de la fonction x⋅f (x; λ), et son résultat est 1 / λ.

Égalant le moment de l'échantillon avec celui de la distribution de la population, il est conclu que l'estimation spécifique de λ est 1 /.

Exercices résolus

Exercice 1

Sur une étude menée avec 100 données, il a été déterminé que le temps moyen qu'une personne prend pour visualiser une vidéo YouTube, une fois la notification reçue, est de 3 minutes. Trouvez la distribution de probabilité de temps utilisée pour voir la vidéo, une fois la notification reçue.

Il peut vous servir: y = 3sen (4x) période de fonction

Solution

On suppose que la probabilité maximale qu'une personne passe en revue une vidéo se produit juste après la notification, mais si elle passe longtemps après, la probabilité que la personne voit la vidéo est très faible.

Il s'agit du comportement typique d'une distribution exponentielle, par conséquent, le comportement de la population peut être modélisé par la distribution de probabilité suivante, pour le temps t (en minutes), mesuré à partir de la notification:

 f (t; λ) = λ ⋅ exp (−λule)

Dans ce type de distribution, l'espoir ou la moyenne est = 1 / λ, comme expliqué dans la section précédente. Ensuite, à partir de l'échantillon d'informations, vous pouvez approximer λ:

λ ≈ ⅓.

Exercice 2

Une enquête se fait avec une seule question, dont les réponses possibles sont: oui (1) ou non (0). Les résultats de l'enquête dans laquelle tout le monde a répondu était: 26 Oui et 14 Non.

En supposant que la réponse est aléatoire, donc la distribution de ces résultats est un distribution binomiale dont la probabilité est:

P = P²⁶ · (1 - p)¹⁴

Il peut être démontré que le maximum de cette fonction se produit lorsque P prend la valeur 26/40, et c'est la valeur qui rend les valeurs d'échantillon obtenues.