Cylindrique coordonnées Système, changement et exercices

Le coordonnées cylindriques Ils servent à localiser des points dans l'espace à trois dimensions et se composent d'une coordonnée radiale ρ, d'une coordonnée azimutale φ et d'une coordonnée de hauteur z.

Point P Situé dans l'espace est projeté orthogonalement dans l'avion Xy donner naissance au point P ' Dans ce plan. La distance entre l'origine et le point P ' définit la coordonnée ρ, tandis que l'angle qui forme l'axe X Avec le semi-sortant Op ' Définissez la coordonnée φ. Enfin, la coordonnée z C'est la projection orthogonale du point P sur l'axe Z. (Voir figure 1).

Figure 1. Point P des coordonnées cylindriques (ρ, φ, z). (Élaboration propre)

La coordonnée radiale ρ est toujours positive, la coordonnée azimutale φ varie de zéro radians à deux radianes Pi, tandis que la coordonnée Z peut prendre n'importe quelle valeur réelle:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

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Changement de coordonnées

Il est relativement simple d'obtenir les coordonnées cartésiennes (x, y, z) à partir d'un point p à partir de ses coordonnées cylindriques (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Mais il est également possible d'obtenir les coordonnées polaires (ρ, φ, z) basées sur la connaissance des coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point P:

ρ = √ (x² + et²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Base vectorielle dans les coordonnées cylindriques

La base des vecteurs cylindriques est définie Uρ, Uφ, Uz.

Le vecteur Uρ Il est tangent à la ligne φ = ctte et z = CTTE (pointant radialement), le vecteur Uφ est tangent à la ligne ρ = ctte et z = ctte et enfin Uz Il a la même direction de l'axe z.

Figure 2. Base de coordonnées cylindriques. (Wikimedia Commons)

Dans la base unitaire cylindrique, le vecteur de position r À partir d'un point P, il est écrit vectoriellement comme ceci:

Il peut vous servir: domaine et contradiction d'une fonction (avec des exemples)

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

D'un autre côté, un déplacement infinitésimal Dr Du point P, il est exprimé comme suit:

dr = Dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + Dz Uz

De même, un élément infinitésimal du volume DV dans les coordonnées cylindriques est:

Dv = ρ dρ dφ dz

Exemples

Il existe d'innombrables exemples d'utilisation et d'application des coordonnées cylindriques. En cartographie, par exemple, le projection cylindrique, basé précisément sur ces coordonnées. Il y a plus d'exemples:

Exemple 1

Les coordonnées cylindriques ont des applications technologiques. À titre d'exemple, vous disposez du système CHS (cylindre-secteur-secteur) de l'emplacement des données sur un disque dur, qui se compose en fait de plusieurs disques:

- Le cylindre ou la piste correspond à la coordonnée ρ.

- Le secteur correspond à la position φ de l'album qui tourne à haut vitesse angulaire.

- La tête correspond à la position z de la tête de lecture sur l'album correspondant.

Chaque octet d'information a une adresse précise dans les coordonnées cylindriques (C, S, H).

Figure 2. Emplacement des informations dans les coordonnées cylindriques dans un système de disque dur. (Wikimedia Commons)

Exemple 2

Les grues de construction définissent la position de charge dans les coordonnées cylindriques. La position horizontale est définie par la distance à l'axe de la grue ou à la flèche. La position verticale de la charge est déterminée par la coordonnée z de la hauteur.

figure 3. La position de la charge dans une grue de construction peut être facilement exprimée en coordonnées cylindriques. (Image Pixabay - RCOS R. Pérez)

Exercices résolus

Exercice 1

Il y a les points P1 de coordonnées cylindriques (3, 120º, -4) et le point P2 des coordonnées cylindriques (2, 90º, 5). Trouvez le Distance euclidienne Entre ces deux points.

Peut vous servir: divisions dans lesquelles le résidu est de 300

Solution: Premièrement, nous trouvons les coordonnées cartésiennes de chaque point suivant la formule qui s'est produite ci-dessus.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * Sen 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

La distance euclidienne entre P1 et P2 est:

D (p1, p2) = √ ((0 - (-1.5))²+(2 - 2.60)²+(5 - (-4))² ) =…

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

Exercice 2

Le point P a des coordonnées cartésiennes (-3, 4, 2). Trouvez les coordonnées cylindriques correspondantes.

Solution: Les coordonnées cylindriques se trouvent en utilisant les relations données ci-dessus:

ρ = √ (x² + et²) = √ ((-3)² + 4²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arcan (4 / (-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

Z = 2

Il faut se rappeler que la fonction arcangente est multipaliduada de périodicité 180º. De plus, l'angle φ doit appartenir au deuxième quadrant, car les coordonnées x e y et ponctuels sont dans ce quadrant. C'est la raison pour laquelle 180º a été ajouté au résultat φ.

Exercice 3

Exprime dans les coordonnées cylindriques et dans les coordonnées cartésiennes de la surface d'un cylindre radio-cylindre et dont l'axe coïncide avec l'axe z.

Solution: Il est entendu que le cylindre a une extension infinie dans la direction z, de sorte que l'équation de ladite surface dans les coordonnées cylindriques est:

ρ = 2

Pour obtenir l'équation cartésienne de la surface cylindrique, le carré des deux membres de l'équation précédente est pris:

ρ² = 4

Nous multiplions par 1 les deux membres de l'égalité précédente et appliquons le Identité trigonométrique fondamentale (Sen²(φ) + cos²(φ) = 1):

1 * ρ² = 1 * 4

(Sen²(φ) + cos²(φ)) * ρ² = 1 * 4

La parenthèse se développe pour obtenir:

(ρ sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

Peut vous servir: population et échantillon

Nous nous souvenons que la première parenthèse (ρ sen (φ)) est coordonnée et un point dans les coordonnées polaires, tandis que la parenthèse (ρ cos (φ)) représente la coordonnée X, de sorte que nous avons laissé L'équation du cylindre dans les coordonnées cartésiennes:

et² + X² = 2²

L'équation précédente ne doit pas être confondue avec celle d'un cercle dans le plan XY, car dans ce cas, ce serait comme ceci: et² + X² = 2² ; Z = 0.

Exercice 4

Un cylindre de rayon r = 1 m et une hauteur h = 1 m a sa masse radialement distribuée selon l'équation suivante d (ρ) = c (1 - ρ / r) où c est une constante de valeur c = 1 kg / m³. Trouvez la masse totale du cylindre en kilogrammes.

Solution: La première chose est de réaliser que la fonction d (ρ) représente la densité de masse volumétrique et que la masse de densité est distribuée en cascarones cylindriques de densité décroissante du centre à la périphérie. Un élément infinitésimal de volume selon la symétrie du problème est:

Dv = ρ dρ 2π h

De là, vous devez, la masse infinitésimale d'une coquille cylindrique sera:

Dm = d (ρ) dv

Ainsi, la masse totale du cylindre sera exprimée par ce qui suit Intégral défini:

M = ∫_soit^R D (ρ) dv = ∫_soit^R C (1 - ρ / r) ρ dρ 2π h = 2π h c ∫_soit^R (1 - ρ / r) ρ dρ

La solution de l'intégrale indiquée n'est pas difficile à obtenir, étant son résultat:

∫_soit^R (1 - ρ / r) ρ dρ = (⅙) r²

L'incorporation de ce résultat dans l'expression de la masse du cylindre est obtenue:

M = 2π h c (⅙) r² = ⅓ π h c r² =

 ⅓ π 1m * 1kg / m³* 1m² = π / 3 kg ≈ 1.05 kg

Les références

1. Arfken G et Weber H. (2012). Méthodes mathématiques pour les physiciens. Un guide complet. 7e édition. Presse universitaire. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul CC. Coordonnées cylindriques et sphériques résolues. Récupéré de: calcul.Dc
3. Weisstein, Eric W. «Coordonnées cylindriques.”De Mathworld-A Wolfram Web. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipédia. Système de coordonnées cylindriques. Récupéré de: dans.Wikipédia.com
5. Wikipédia. Champs vectoriels en coordonnées cylindriques et sphériques. Récupéré de: dans.Wikipédia.com