Propriétés de l'ensemble infini, exemples

Il est compris par Ensemble infini Cet ensemble dans lequel le nombre de ses éléments est d'innombrables. C'est-à-dire, quelle que soit la taille du nombre de ses éléments, il est toujours possible d'en trouver plus.

L'exemple le plus courant d'un ensemble infini est celui des nombres naturels N. Peu importe la taille du nombre, car vous pouvez toujours en obtenir un plus grand dans un processus qui n'a pas fin:

N  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ..., 41, 42, 43. . .,100, 101,…, 126, 127, 128,…

Figure 1. Symbole de l'infini. (Pixabay)

L'ensemble des étoiles d'univers est sûrement immense, mais on ne sait pas avec certitude s'il est fini ou infini. Contrairement au nombre de planètes du système solaire qui est connu pour être un ensemble fini.

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Propriétés de l'ensemble infini

Parmi les propriétés des ensembles infinis, nous pouvons souligner ce qui suit:

1- L'union de deux ensembles infinis donne naissance à un nouvel ensemble infini.

2- L'union d'un ensemble fini avec une infinie donne naissance à un nouvel ensemble infini.

3- Si le sous-ensemble d'un ensemble donné est infini, alors l'ensemble d'origine est également. La déclaration réciproque n'est pas vraie.

Vous ne pouvez pas trouver un nombre naturel capable d'exprimer la cardinalité ou le nombre d'éléments d'un ensemble infini. Cependant, le mathématicien allemand Georg Cantor a introduit le concept de nombre transfinite pour se référer à un ordinal infini supérieur à tout nombre naturel.

Exemples

Les indigènes n

L'exemple le plus fréquent d'un ensemble infini est celui des nombres naturels. Les nombres naturels sont ce qui est utilisé pour compter, mais les nombres entiers qui peuvent exister sont d'innombrables.

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L'ensemble des nombres naturels ne comprend pas zéro et est généralement indiqué comme l'ensemble N, qui est largement exprimé comme suit:

N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . Et c'est clairement un ensemble infini.

Les points suspendus sont utilisés pour indiquer qu'après un numéro, un autre est suivi puis un autre dans un processus sans fin ou sans fin.

L'ensemble des nombres naturels attachés à l'ensemble qui contient le numéro zéro (0) est connu sous le nom de l'ensemble N+.

N+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. . Quel est le résultat de l'union de l'ensemble infini N Avec l'ensemble fini SOIT = 0, entraînant l'ensemble de l'infini N+.

Les entiers z

L'ensemble des nombres entiers Z Il est composé de nombres naturels, de nombres naturels avec un signe négatif et zéro.

Les nombres entiers Z Ils sont considérés comme une évolution concernant les nombres naturels N utilisé à l'origine et primitivement dans le processus de comptage. 

Dans l'ensemble numérique Z Le zéro est incorporé des entiers pour compter ou compter quoi que ce soit et les nombres négatifs pour tenir compte de l'extraction, de la perte ou du manque de quelque chose.

Pour illustrer l'idée, supposons que dans le compte bancaire, il y a un solde négatif. Cela signifie que le compte est inférieur à zéro et n'est pas seulement que le compte est vide mais qu'il a une différence manquante ou négative, qui doit en quelque sorte se remettre à la banque.

Étendu l'ensemble infini Z De tous les chiffres, il est écrit comme ceci:

Z = … ., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

Le Q rationnel

Dans l'évolution du processus de comptage et d'échange de choses, de biens ou de services, des nombres fractionnaires ou rationnels apparaissent.

Par exemple, dans l'échange de pain moyen avec deux pommes, au moment de l'apporter l'enregistrement de la transaction, quelqu'un est venu avec cette moitié devrait être écrite comme divisée ou sectionnée en deux parties: ½. Mais la moitié de la moitié du pain serait enregistrée dans les livres comptables comme suit: ½ / ½ = ¼.

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Il est clair que ce processus de division peut être infini en théorie, bien qu'en pratique, il est jusqu'à ce que la dernière particule de pain soit atteinte.

L'ensemble des nombres rationnels (ou fractionnaires) est indiqué comme suit:

Q = …, -3,… ., -2,…, -1,…, 0,…, 1,…, 2,…, 3,…

Les points suspendus entre les deux nombres entiers signifient qu'entre ces deux nombres ou valeurs il y a des partitions ou des divisions infinies. C'est pourquoi il est dit que l'ensemble des nombres rationnels est infiniment dense. En effet.

Pour illustrer ce qui précède, supposons qu'on nous demande de trouver un nombre rationnel entre 2 et 3. Ce nombre peut être de 2⅓, ce qui est connu comme un nombre mixte composé de 2 parties entières plus un tiers de l'unité, ce qui équivaut à l'écriture 4/3.

Entre 2 et 2⅓ une autre valeur peut être trouvée, par exemple 2⅙. Et entre 2 et 2⅙ une autre valeur peut être trouvée, par exemple 2⅛. Entre ces deux autres, et parmi eux un autre, un autre et un autre.

Figure 2. Divisions infinies en nombre rationnel. (Wikimedia Commons)

Nombres irrationnels I

Il y a des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme la division ou la fraction de deux nombres entiers. C'est cet ensemble numérique qui est connu sous le nom de Set I de nombres irrationnels et est également un ensemble infini.

Certains éléments ou représentants notables de cet ensemble numérique sont le nombre Pi (π), le numéro Euler (et), Le rapport de l'or ou du nombre d'or (φ). Ces chiffres ne peuvent être écrits que par un numéro rationnel:

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π = 3.1415926535897932384626433832795… (et continuer à l'infini et au-delà…)

et = 2,7182818284590452353602874713527… .(Et continuer au-delà de l'infini ...)

φ = 1,61803398874989484820 ... (à l'infini ... et au-delà ...)

D'autres nombres irrationnels apparaissent lorsque vous essayez de trouver des solutions à des équations très simples, par exemple, l'équation x ^ 2 = 2 n'a pas de solution rationnelle exacte. La solution exacte est exprimée par la symbologie suivante: x = √2, qui indique Equis égal à la suite de deux. Une expression rationnelle (ou décimale) approximative de √2 est:

√2 ≈1 4142135623730950488016887242097. 

Il y a d'innombrables nombres irrationnels, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) pour n'en nommer que quelques-uns.

L'ensemble de Royal R

Les nombres réels sont l'ensemble numérique qui est le plus fréquemment utilisé dans le calcul mathématique, en physique et en ingénierie. Cet ensemble numérique est l'union des nombres rationnels Q et nombres irrationnels Toi:

R = Q OU Toi

Infini

Parmi les ensembles infinis, certains sont plus grands que d'autres. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels N Il est infini, mais c'est un sous-ensemble de nombres entiers Z qui est également infini, donc l'ensemble infini Z est supérieur à l'ensemble infini N.

De même, un ensemble de nombres entiers Z C'est un sous-ensemble de nombres réels R, Et donc l'ensemble R C'est "plus infini" que l'ensemble infini Z.

Les références

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2. Sources, un. (2016). Mathématiques de base. Une introduction au calcul. Lulu.com.
3. Garo, m. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
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8. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.
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