CONGURCTION CONGRUENTS CONGRUENTS, CRITÈRES, EXEMPLES, EXERCICES

La congruence, En géométrie, il souligne que si deux figures plates ont la même forme et les mêmes dimensions, ce sont congruents. Par exemple, deux segments sont congruents lorsque leurs longueurs sont égales. Les angles congruents ont également la même mesure, bien qu'ils ne soient pas orientés de la même manière dans le plan.

Le terme "congruence" vient du latin Congruente, dont le sens est la correspondance. Ainsi, deux chiffres congruents correspondent exactement à l'un avec l'autre.

Figure 1. Les quadrilatères ABCD et A'B'C'd 'de la figure sont congruents: leurs côtés ont la même mesure, ainsi que leurs angles internes. Source: F. Zapata.

Par exemple, si nous chevauchons les deux quadrilatéraux de l'image, nous constaterons qu'ils sont congruents, car la disposition de leurs côtés est identique et ils mesurent le même.

Lorsque vous placez les quadrilatères ABCD et A'B'C'd 'l'un sur l'autre, les chiffres coïncideront exactement. Les côtés assortis sont appelés côtés homologues soit correspondant Et pour exprimer la congruence, le symbole ≡ est utilisé. Ensuite, nous pouvons dire que ABCD ≡ A'B'c'd '.

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Critères de congruence

Les caractéristiques suivantes sont communes aux polygones congruents:

-Forme et taille égale.

-Mesures identiques de vos angles.

-La même mesure sur chacun de ses côtés.

Dans le cas où deux polygones en question sont réguliers, c'est-à-dire que tous les côtés et les angles internes les mesurent, la congruence est assurée lorsque l'une des conditions suivantes est remplie:

-Les côtés sont congruents

-Le apothèmes avoir la même mesure

-Il radio de chaque polygone mesure le même

L'apothéme d'un polygone ordinaire est la distance entre le centre et l'un des côtés, tandis que le rayon correspond à la distance entre le centre et un sommet ou un coin de la figure.

Les critères de congruence sont fréquemment utilisés car de nombreuses pièces et pièces de toutes sortes sont fabriquées en série et doivent avoir la même forme et mesures. De cette façon, ils peuvent facilement être remplacés si nécessaire, par exemple des écrous, des vis, des draps ou les pavés du sol dans la rue.

Peut vous servir: règle Simpson: formule, démonstration, exemples, exercicesFigure 2. Les pavés de rue sont des personnages congruents, car leur forme et leurs dimensions sont exactement les mêmes, bien que leur orientation sur le sol puisse changer. Source: Pixabay.

Congruence, identité et similitude

Il existe des concepts géométriques liés à la congruence, par exemple Les chiffres identiques et les figures similaires, Cela n'implique pas nécessairement que les chiffres sont congruents.

Notez que les chiffres congruents sont identiques, mais les quadrilatéraux de la figure 1 pourraient être orientés de différentes manières dans l'avion et continuent d'être congruents, car l'orientation différente ne change pas la taille de leurs côtés ou celle de leurs angles. Dans ce cas, ils cesseraient d'être identiques.

L'autre concept est celui de la similitude des figures: deux figures plates sont similaires si elles ont la même forme et que leurs angles internes mesurent les mêmes, bien que la taille des chiffres puisse être différente. Si tel est le cas, les chiffres ne sont pas congruents.

Exemples de congruence

- Congruence des angles

Comme nous l'avons indiqué au début, les angles congruents ont la même mesure. Il existe plusieurs façons d'obtenir des angles congrus:

Exemple 1

Deux lignes avec un point commune définissent deux angles, appelés Angles opposés par le sommet. Ces angles ont la même mesure, donc ils sont congruents.

figure 3. Angles opposés par le sommet. Source: Wikimedia Commons.

Exemple 2

Il y a deux lignes parallèles plus une ligne t qui les coupe tous les deux. Comme dans l'exemple précédent, lorsque cette ligne coupe les parallèles, elle génère des angles congruents, un sur chaque ligne vers le côté droit et deux autres sur le côté gauche. La figure montre α et α₁, À droite de la ligne t, Ils sont congrus.

Figure 4. Les angles montrés sur la figure sont congruents. Source: Wikimedia Commons. Lfahlberg / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0).

Exemple 3

Dans un parallélogramme, il y a quatre angles internes, qui sont congruents de deux à deux. Ce sont ceux entre les sommets opposés, comme le montre la figure suivante, dans laquelle les deux angles verts sont congruents, ainsi que les deux angles en rouge.

Peut vous servir: triangle acutangleFigure 5. Les angles internes du parallélogramme sont congruents de deux à deux. Source: Wikimedia Commons.

- Congruence des triangles

Deux triangles de forme identique et la même taille sont congruents. Pour vérifier cela, il existe trois critères qui peuvent être examinés à la recherche de congruence:

-Critères LLL: Les trois côtés des triangles ont les mêmes mesures, donc l₁ = L '₁; L₂ = L '₂ et moi₃ = L '_3.

Figure 6. Exemple de triangles congruents, dont les parties mesurent la même chose. Source: F. Zapata.

-Critères alla y aal: Les triangles ont deux angles internes égaux et le côté entre ces angles a la même mesure.

Figure 7. Critères ala et aal pour la congruence des triangles. Source: Wikimedia Commons.

-Critères LAL: Deux des côtés sont identiques (correspondants) et parmi eux il y a le même angle.

Figure 8. Critères LAL pour la congruence des triangles. Source: Wikimedia Commons.

Exercices résolus

- Exercice 1

Dans la figure suivante, deux triangles sont représentés: ΔABC et Δecf. On sait que AC = EF, que AB = 6 et que Cf = 10. De plus, les angles ∡bac et ∡FEC sont congruents et les angles ∡ACB et ∡FCB sont également.

Figure 9. Les triangles pour l'exemple résolu 1. Source: F. Zapata.

Ensuite, la longueur du segment BE est égale à:

(i) 5 

(Ii) 3

(Iii) 4 

(Iv) 2

(v) 6

Solution

Comme les deux triangles ont un côté de longueur égale AC = EF entre les angles égaux ∡bac = ∡cef et ∡bca = ∡cfe, on peut dire que les deux triangles sont congruents par l'aile des critères.

C'est-à-dire ΔBac ≡ ΔCef, vous devez donc:

Ba = ce = ab = 6

BC = cf = 10

AC = EF

Mais le segment que vous souhaitez calculer est être = BC - Ec = 10 - 6 = 4.

Pour que la bonne réponse soit le (iii).

- Exercice 2

Trois triangles sont illustrés sur la figure. Il est également connu que les deux angles indiqués mesurent 80º chacun et que les segments ab = pd et ap = cd. Trouvez la valeur de l'angle x indiqué sur la figure.

Il peut vous servir: graphismes polybalFigure 10. Les triangles pour l'exemple résolu 2. Source: F. Zapata.

Solution

Vous devez appliquer les propriétés des triangles, qui sont détaillés étape par étape.

Étape 1

En commençant par les critères de congruence des triangles Lal, on peut dire que les triangles BAP et PDC sont congruents:

Δbap ≡ Δpdc

Étape 2

Ce qui précède conduit à affirmer que bp = pc, donc le triangle Δbpc est isocèle et ∡pcb = ∡pbc = x.

Étape 3

Si nous appelons γ à l'angle BPC, il s'ensuit:

2x + γ = 180º

Étape 4

Et si nous appelons β aux angles APB et DCP et α aux angles ABP et DPC, il doit:

α + β + γ = 180º (puisque APB est un angle plat).

Étape 5

De plus, α + β + 80º = 180º par somme d'angles internes du triangle APB.

Étape 6

Combinant toutes ces expressions que vous devez:

α + β = 100º

Étape 7

Et par conséquent:

γ = 80º.

Étape 8

Enfin, il s'ensuit:

2x + 80º = 180º

Avec x = 50º.

Les références

1. Baldor, un. 1973.Géométrie plate et espace. Culturel d'Amérique centrale.
2. Fondation CK-12. Polygones congruents. Récupéré de: CK 12.org.
3. Profitez des mathématiques. Définitions: radio (polygone). Récupéré de: Priematimaticas.com.
4. Référence ouverte en mathématiques. Tester les polygones pour la congruence. Récupéré de: MathpenRef.com.
5. Wikipédia. Congruence (géométrie). Récupéré de: est.Wikipédia.org.
6. Zapata, f. Triangles, histoire, éléments, classification, propriétés. Récupéré de:.com.