Approchez le calcul à l'aide de différentiels

Une approche en mathématiques est un nombre qui n'est pas la valeur exacte de quelque chose, mais qui est aussi proche de cela qui est considéré comme utile que cette valeur exacte.

Quand en mathématiques, des approches sont réalisées, c'est parce qu'il est manuellement difficile (ou parfois impossible) de connaître la valeur précise de ce que vous voulez.

L'outil principal lorsque vous travaillez avec les approches est le différentiel d'une fonction. Le différentiel d'une fonction f, désigné par Δf (x), n'est rien de plus que la dérivée de la fonction F multipliée par le changement de la variable indépendante, c'est-à-dire Δf (x) = f '(x) * Δx.

Parfois, DF et DX sont utilisés à la place de ΔF et Δx.

Approches en utilisant un différentiel

La formule appliquée pour effectuer une approximation à travers le différentiel provient juste de la définition du dérivé d'une fonction de limite.

Cette formule est donnée par:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Ici, il est entendu que Δx = x-x0, donc x = x0 + Δx. En utilisant cela, la formule peut être réécrite comme

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Il convient de noter que "x0" n'est pas une valeur arbitraire, mais que c'est une telle valeur que F (x0) est facilement connu; De plus, "f (x)" est juste la valeur que nous voulons aborder.

Y a-t-il de meilleures approches?

La réponse est oui. La précédente est la plus simple des approches appelées "approche linéaire".

Pour des approches de meilleure qualité (l'erreur commise est inférieure), les polynômes avec plus de dérivés appelés "polynômes de Taylor" sont utilisés, ainsi que d'autres méthodes numériques telles que la méthode de Newton-Raphson, entre autres,.

Stratégie

La stratégie à suivre est:

- Choisissez une fonction F adéquate pour effectuer l'approximation et la valeur «x» que F (x) est la valeur que vous souhaitez approximer.

- Choisissez une valeur «x0», près de «x», de sorte que F (x0) est facile à calculer.

- Calculer Δx = x-x0.

- Calculez la fonction dérivée et f '(x0).

- Remplacez les données dans la formule.

Exercices d'approximation résolus

Dans ce qui continue, il y a un certain nombre d'exercices où les approximations sont effectuées à l'aide de différentiel.

1. Premier exercice

Environ √3.

Solution

Suivant la stratégie, vous devez choisir une fonction adéquate. Dans ce cas, on peut voir que la fonction à choisir doit être f (x) = √x et la valeur à approximer est f (3) = √3.

Vous devez maintenant choisir une valeur «x0» près de «3», de sorte que F (x0) est facile à calculer. Si «x0 = 2» est choisi, il doit «x0» est proche de «3» mais f (x0) = f (2) = √2 n'est pas facile à calculer.

La valeur de "x0" qui convient est "4", car "4" est proche de "3" et aussi f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Si «x = 3» et «x0 = 4», alors Δx = 3-4 = -1. Maintenant, le dérivé de F est calculé. C'est-à-dire f '(x) = 1/2 * √x, de sorte que f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Le remplacement de toutes les valeurs de la formule est obtenu:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Si une calculatrice est utilisée, il est obtenu que √3≈1.73205 ... Cela montre que le résultat précédent est une bonne approximation de la valeur réelle.

2. Deuxième exercice

Environ √10.

Solution

Comme avant, il est choisi comme fonction f (x) = √x et dans ce cas x = 10.

La valeur de x0 qui doit être choisie à cette occasion est "x0 = 9". C'est alors nécessaire.

Lors de l'évaluation dans la formule, il est obtenu que

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

À l'aide d'une calculatrice, il est obtenu que √10 ≈ 3.1622776… Ici, vous pouvez également voir qu'une bonne approche a été obtenue avant.

3. Troisième exercice

Approximation ³√10, où ³√ indique la racine cubique.

Solution

De toute évidence, la fonction qui doit être utilisée dans cet exercice est f (x) = ³√x et la valeur de "x" doit être "10".

Une valeur proche de "10" telle que sa racine cubique est connue est "x0 = 8". Alors vous devez Δx = 10-8 = 2 et f (x0) = f (8) = 2. Vous devez également f '(x) = 1/3 * ³√x², et conséquente / 12.

Remplacement des données dans la formule, il est obtenu que:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

La calculatrice dit que ³√10 ≈ 2.15443469… Par conséquent, l'approximation trouvée est bonne.

4. Quatrième exercice

Approximation ln (1.3), où "Ln" désigne la fonction de logarithme naturel.

Solution

Il est d'abord choisi comme fonction f (x) = ln (x) et la valeur de «x» est 1.3. Maintenant, en sachant un peu la fonction de logarithme, vous pouvez savoir que Ln (1) = 0, et aussi "1" est proche de "1.3 ". Par conséquent, «x0 = 1» est choisi et donc Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

D'un autre côté, f '(x) = 1 / x, de sorte que f' (1) = 1. Lorsque vous évaluez dans la formule donnée, vous devez:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Lorsque vous utilisez une calculatrice, vous devez LN (1.3) ≈ 0.262364 ... de sorte que l'approximation faite est bonne.