Binôme carré

Qu'est-ce qu'un binôme carré?

Dans algèbre élémentaire Un binomial est la somme ou la soustraction de deux monomiaux, dont la forme est (a ± b), où pour est le premier terme et b le deuxième. Le ± symbole, qui se lit "plus", dénote compactement à la somme et à la soustraction de ces termes.

Ensuite, le binôme carré est écrit sous la forme (A ± B)², pour représenter la multiplication du binôme avec lui-même. Cette opération est facilement effectuée à l'aide de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition.

Interprétation géométrique du binomial carré ajout de deux monomiaux: la zone du grand carré se compose de la zone du carré vert, plus celle du carré orange, plus celles des deux rectangles jaunes, résultant en un² + 2a⋅b + b². Source: Wikimedia Commons.

De cette façon, un résultat est obtenu qui convient à la mémorisation, car le développement d'un binomial carré apparaît dans de nombreuses applications d'algèbre, le calcul et les sciences en général.

Explication

Le développement du binomial carré est effectué à l'aide de la propriété distributive susmentionnée. De cette façon, vous obtenez:

(A ± B)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± a⋅b ± b⋅a + b² = A² ± 2a⋅b + b²

Le résultat, qui a toujours trois termes et est connu comme Produit notable, Il se lit comme suit:

Carré du premier terme, plus / moins le double produit du premier terme pour le second, plus le carré du deuxième terme.

La définition est applicable à tout binôme, quelle que soit la forme de ses termes.

Carré de la somme et de la différence

Le carré d'une somme est:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + Ab + ba + b² = A² + 2AB + B²

Alors que le carré de la différence est:

(UN B)² = (a - b) × (a - b) = a² - ab - ba + b² = A² - 2AB + B²

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Notez que la différence entre les deux développements réside dans le signe qui est mis au terme croisé.

Exemples

Exemple 1

Lors du développement du carré du binomial (x + 5)², Il est obtenu, en utilisant le résultat obtenu dans la section précédente:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Exemple 2

Pour trouver le développement du binomial carré (2x - 3)², Continuez de manière analogue:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Exemple 3

Pas toujours le terme contenant les paroles ne se déroule pas en place. Par exemple, carré le binomial (12 - 7x), il est obtenu:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Exercices

Développer les binômes carrés suivants:

a) (3xy - 1)²
b) (2z + 5y)²
c) [(x + y) - 6]²

Solution à

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²et² - 6xy + 1

Solution B

(2Z + 5y)² = (2Z)² + 2 ∙ 2Z ∙ 5y + (5y)² = 4Z² + 20zy + 25y²

Solution C

[(x + y) - 6]² = (x + y)² - 2 ∙ (x + y) ∙ 6 +6² = (x + y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

Le premier terme du trinôme peut être développé à son tour:

(x + y)² = x² + 2x ∙ y + et²

Et remplacer le résultat précédent:

[(x + y) - 6]² = (x + y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + et² - 12 ∙ (x + y) + 36

Trinôme carré parfait

Le résultat du développement d'un binôme carré contient trois termes, selon: (a ± b)² = A² ± 2AB + B². C'est pourquoi ça s'appelle trinôme (trois monomiaux) et il est également parfait, car il est obtenu par carré un binôme.

Identifier un trinôme carré parfait et trouver le binomial correspondant qui lui donne lieu est l'objectif de la factorisation.

Par exemple, trinomial x² + 14x + 49 est un trinôme carré parfait, puisque:

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X² + 14x + 49 = (x + 7)²

Le lecteur peut facilement vérifier, développant le carré du binôme (x + 7)² Selon les formules précédentes:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49