Somme algébrique

Exemples de sommes algébriques

Quelle est la somme algébrique?

La Somme algébrique Il consiste à rassembler plusieurs quantités, qui peuvent avoir des signes différents, en un seul montant résultant, appelé addition ou simplement, somme.

Chaque ajout est appelé terme, Ainsi, une somme algébrique se compose de deux termes ou plus, qui peuvent être regroupés avec des parenthèses, des crochets et des clés, les connaissances Symboles de groupe.

Cette somme peut être effectuée avec des nombres réels, avec des expressions algébriques ou avec une combinaison des deux. Les vecteurs peuvent également être ajoutés.

Par exemple, ce qui suit est une somme algébrique avec des nombres entiers et des symboles de groupe:

2 + [- 10 + (−4 + 11-17)]

Et celui-ci implique des expressions algébriques et des nombres réels:

4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16

Plus tard, la solution de ces sommes est indiquée en détail (exemples résolus 6 et 14), mais il est d'abord pratique de revoir les techniques et propriétés applicables dans sa résolution.

Comment résoudre les sommes algébriques?

La première chose qui doit être prise en compte pour effectuer la somme algébrique est la loi ou la règle des signes:

• Si vous souhaitez ajouter des montants avec le même signe, les valeurs absolues sont ajoutées et le résultat porte le signe des montants.
• En ajoutant des quantités de signes différents, les valeurs absolues sont soustraites et le résultat est placé le signe de la valeur la plus absolue.
• En multipliant ou en divisant deux nombres du même signe, le résultat est toujours positif.
• Et si vous souhaitez multiplier ou diviser deux nombres avec des signes différents, le résultat est négatif.

Pour rappel, la valeur absolue de toute quantité x, qu'elle soit numérique ou algébrique, est indiquée par │x│ et est calculée comme suit:

• │x│ = x, si x> 0
• │x│ = −x, si x < 0

Par exemple:

│3│ = 3

│ - 5│ = - (−5) = 5

Hiérarchie des opérations

Les symboles de groupe susmentionnés peuvent apparaître dans une somme algébrique, ou c'est une opération plus complexe dans laquelle ils apparaissent, en plus de la somme, une multiplication, une division, un exposant ou une racine.

Ensuite, avant d'effectuer la somme, nous devons recourir à la hiérarchie des opérations, pour connaître l'ordre qui doit être pris pendant la résolution:

1.- Éliminez d'abord les signes de regroupement, en commençant par le plus interne.

2.- Résoudre des exposants ou des racines, s'il y a.

3.- Effectuer des multiplications ou des divisions, dans le cas où l'opération en comprend certains, toujours selon la règle des signes énoncés ci-dessus.

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4.- Une fois cela fait, les sommes algébriques sont résolues, suivant les directives données par la règle des signes.

Dans le cas où il y a plusieurs opérations de la même hiérarchie, elle commence à résoudre de gauche à droite.

Important: Chaque parenthèse précédée par le signe +, qu'elle soit écrite comme explicite ou non, peut être supprimée sans affecter le signe de contenu. Mais si la parenthèse est précédée d'un signe - puis les signes du changement de contenu.

Par exemple:

• (- 5 + 8 - 13) = - 5 + 8 -13
• -(4 + 25 - 76 -1) = - 4 - 25 + 76 +1

Propriétés de la somme algébrique

1.- Propriété commutative: l'ordre des addeds ne modifie pas la somme. C'est-à-dire: a + b = b + a.

2.- Propriété associative: si l'opération se compose de plus de deux termes, les deux premiers peuvent être associés, obtenant son résultat, l'ajout à ce qui suit et ainsi. Donc:

(A + b) + c = a + (b + c)

3.- Élément neutre de l'addition: il est 0, donc: A + 0 = A

4.- Opposé: étant donné le montant "A", son opposé est "-a", pour réaliser cela: a + (-a) = 0

5.- Lorsque vous avez une expression mitigée, qui se compose de nombres et de termes algébriques, seuls ceux qui sont similaires et la somme des termes non similaires sont ajoutés.

Les termes similaires sont ceux dont la partie littérale est identique, bien qu'elles puissent différer dans le coefficient. Par exemple:

1 + x² - 4x² - 7 = (1-7) + (x² - 4x²) = - 6 - 3x²

Les termes x² et 4x² Ils sont similaires, car ils ont la même lettre et les mêmes exposants. Notez que les nombres sont ajoutés en dehors des expressions littérales (avec paroles) et le résultat est indiqué.

Résumé des principales propriétés de la somme. Source: F. Zapata

Exemples

Somme algébrique de nombres entiers

Il existe plusieurs stratégies, appliquant les règles des signes et les propriétés décrites ci-dessus. Par exemple, des quantités positives et négatives peuvent être ajoutées à part, puis soustraire les résultats respectifs.

1) 7− 8 + 4 - 10 - 25 + 4 = (7 + 4 + 4) + (- 8 −10 - 25) = 15 + (−43) = - 28

2) −15 + 7 - 13 - 34 + 18 −24−26 = (7 + 18) + (−15 - 13 - 34 - 24 - 26) = 25 + (−112) = - 87

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3) [83 + (-99)] + 18 = -16 + 18 = 2

4) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 = (21 + 20 + 9 + 15 + 10) + (- 3 - 7-10 - 25) = 75 - 45 = 30

Dans l'exercice suivant, il convient de garder à l'esprit qu'un signe de groupe précédé d'un signe moins, modifier le contenu:

5) 9 - [3 - (-9 + 8 + 21)] - 27 = 9 - [3 + 9 - 8 -21] - 27 = 9 - 3 - 9 + 8 + 21 - 27 = (9 + 8 + 21) + (- 3 - 9 - 27) = 38 - 39 = - 1

6) 2 + [- 10 + (−4 + 11 - 17)] = 2 + [- 10 - 4 + 11 - 17] = 2 + [11+ (- 10 - 4 - 17)] = 2 + [11+ ( - 31)] = 2 + (- 20) = - 18

7) L'empereur romain Augusto a commencé son règne en - 27.C et régné jusqu'à sa mort, pendant 41 ans. L'exercice terminé par le règne d'Augusto était:

- 27 + 41 = 14 D.C.

8) L'ascenseur d'un bâtiment est situé dans le deuxième sous-sol, grimpe sept étages, descend quatre, en hausse de 15 et 6 bas. Quel étage est l'ascenseur?

Les panneaux sont d'abord attribués: le niveau 0 au niveau de la rue, lorsque l'ascenseur augmente une certaine quantité de étages est considéré comme un montant positif et lorsqu'il baisse, il est négatif:

−2 + 7 - 4 + 15 - 6 = (7 + 15) + (−2− 4− 6) = 22 - 12 = +10

L'ascenseur est au dixième étage.

Somme algébrique de nombres réels

Les nombres réels incluent des nombres naturels, rationnels et irrationnels:

9) 4-3⅚-√2 + 6√2 + ½ + 11 = (4 + 11) + (½-3⅚) + (6√2− √2) = 15 + (-10/3) + 5√2 = 35 / 3 + 5√2

dix) 3 - 5.5 + (−8.7) = 3 - 5.5 - 8.7 = −11.2

Somme des monomiaux et des polynômes

Les monomiaux contiennent une partie littérale avec leur exposant respectif, qui est un entier supérieur à 1, et un coefficient numérique appartenant à l'ensemble des nombres réels. La partie littérale peut être composée d'une ou plusieurs lettres.

Les expressions: −3x², √5 ∙ x³ et 8x²et³ Ce sont des exemples de monomiaux. Au lieu de cela, ce ne sont pas des monomiaux: 2x⁻³ et 7√x.

Les sommes algébriques entre les monomiaux ne peuvent être exécutées que lorsque les monomiaux sont similaires, dans ce cas, le résultat est un autre monomial. Cette procédure est également appelée réduction monomiale:

onze) (3/2) ∙ x³Y + 2 ∙ x³y = (7/2) ∙ x³et

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Si les monomiaux ne sont pas similaires, la somme est indiquée et entraîne un polynôme:

12) 1 + 6x - 5x² = 1 + 6x - 5x²

13) (√3 · x⁸ + 4x) + (5x⁸  + 3x) ​​= (√3 · x⁸ + 5x⁸ ) + (4x + 3x) = (√3 + 5) ⋅x⁸ + 7x

Si des termes similaires apparaissent dans une somme, ceux-ci peuvent être réduits:

14) 4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16 = (4x²  + (2/5) x² ) + (- 4xy - 12xy) + 16 = (22/5) x² - 16xy + 16

quinze) 3x²  +  5x - 2x² - 9x = (3x² - 2x²) + (5x - 9x) = x² - 4x

16) 5x³ -7x + 2x - 9x² + 2x³ - 5x² = (5x³ +2x³) + (- 9x² - 5x² ) + (-7x + 2x) = 7x³- 14X² - 5x

La somme des polynômes peut être effectuée horizontalement, comme dans les exemples précédents, ou verticalement. Le résultat est le même dans les deux cas.

17) Ajouter les polynômes de deux manières:

• 5x² + 7y - 6Z²
• 4y + 3x²
• 9x² + 2z² - 9y
• 2y - 2x²

Horizontalement:

(5x² + 7y - 6z²) + (4y + 3x²) + (9x² + 2z² - 9y) + (2y - 2x²) = (5x² + 3x² + 9x² - 2x²) + (- 6z² + 2z²) + (7y + 4y - 9y + 2y) = 15x² - 4z² + 4y

Verticalement:

+ 5x² + 7y - 6Z²
+ 3x² + 4y
+ 9x² - 9y + 2z²
−2x² + 2y
_______________________
+ 15x² + 4y - 4Z²

18) (1/2 x² + 4) + (3/2 x² + 5) + (x² + 2) = (1/2 x² + 3/2 x² + X²) + (4 + 5 + 2) =

19) (3x² - 5x +1) + (x² −7x - 3) = (3x² + X²) + (- 5x −7x) + (1 - 3) = 4x² −12x - 2

vingt) Faire la somme des polynômes:

• P (x) = 3x⁴ + 3x² - 5x + 7
• Q (x) = 2x⁵ - X⁴ + X³ - 2x² + X - 3
• R (x) = - 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ - 4x - 5

En utilisant la méthode verticale, les polynômes sont complétés à l'aide des termes du formulaire 0xⁿ  Et nous procédons à l'ajout de termes similaires:

0x⁵ + 3x⁴ + 0x³ + 3x² - 5x + 7
2x⁵ - X⁴  +  X³  - 2x² +  x - 3
-3x⁵ +2x⁴ + 2x³ + 0x² - 4x - 5
_______________________________
- X⁵ +  4x⁴ + 3x³  + X²  - 8x - 1