Exemples de successions quadratiques, règles et exercices résolus

Le Successions quadratiques, En termes mathématiques, ils se composent de séquences de nombres qui suivent une certaine règle arithmétique. Il est intéressant de connaître cette règle pour déterminer l'un des termes de succession.

Une façon d'y parvenir est de déterminer la différence entre deux termes successifs et de voir si la valeur obtenue est toujours répétée. Quand c'est le cas, il est dit que c'est un succession régulière.

Les successions numériques sont un moyen d'organiser les séquences de nombres. Source: Pixabay.com

Mais s'il n'est pas répété, alors vous pouvez essayer d'examiner le différence entre les différences Et voir si cette valeur est constante. Si c'est le cas, alors c'est un Succession quadratique. 

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Exemples de successions régulières et de successions quadratiques

Les exemples suivants aident à clarifier ce qui a été expliqué jusqu'à présent:

Exemple de succession régulière

Être la succession s = 4, 7, 10, 13, 16, ...

Cette succession, indiquée par S, est un ensemble numérique infini, dans ce cas de nombres entiers.

On peut voir qu'il s'agit d'une succession régulière, car chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au terme ou à l'élément précédent:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

dix+3 = 13

13+3 = 16

En d'autres termes: cette succession est régulière car la différence entre le terme suivant et la précédente donne une valeur fixe. Dans l'exemple étant donné cette valeur est 3.

Les successions régulières obtenues en ajoutant une quantité fixe au terme précédent, sont également appelés progressions arithmétiques. Et à la différence - constante - parmi les termes successifs, on l'appelle raison Et il est désigné comme R.

Exemple de succession non régulière et quadratique

Voir maintenant la succession suivante:

S = 2, 6, 12, 20, 30, .. .

Lorsque les différences successives sont calculées, les valeurs suivantes sont obtenues:

Peut vous servir: sélections aléatoires avec ou sans remplacement

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = dix

Leurs différences ne sont pas constantes, il peut donc être dit que c'est une succession non régulière.

Cependant, si nous considérons l'ensemble des différences, il y a une autre succession, qui sera désignée comme S_Dif:

S_Dif = 4, 6, 8, 10, .. .

Cette nouvelle succession est un succession régulière, Puisque chaque terme est obtenu en ajoutant la valeur fixe r = 2 à la précédente. C'est pourquoi nous pouvons affirmer que S est Succession quadratique.

Règle générale pour construire une succession quadratique

Il existe une formule générale pour construire une succession quadratique:

T_n = A ∙ n² + B ∙ n + c

Dans cette formule, t_n C'est le terme du n de la succession. A, B et C sont des valeurs fixes, tandis que n varie un par un, soit 1, 2, 3, 4, ..

Successivement s de l'exemple précédent a = 1, b = 1 et c = 0. De là, il s'ensuit que la formule qui génère tous les termes est: t_n = n² + n

C'est-à-dire:

T₁ = 1² + 1 = 2

T₂ = 2² + 2 = 6

T₃ = 3² + 3 = 12

T₅ = 5² + 5 = 30

T_n = n² + n

Différence entre deux termes consécutifs d'une succession quadratique

T_{N + 1} - T_n = [A ∙ (n + 1)² + B ∙ (n + 1) + c] - [a ∙ n² + B ∙ n + c]

Développer l'expression à travers un produit remarquable reste:

T_{N + 1} - T_n = A ∙ n² + A ∙ 2 ∙ n + a + b ∙ n + b + c - a ∙ n² - B ∙ n - c

En le simplifiant, vous obtenez:

T_{N + 1} - T_n = 2 ∙ a ∙ n + a + b

C'est la formule qui donne la succession des différences s_Dif qui peut être écrit comme ceci:

Dif_n = A ∙ (2n + 1) + b

Où clairement le terme suivant est 2 ∙ parfois le précédent. C'est-à-dire la raison de la succession des différences s_Dif Es: r = 2 ∙ a.

Exercices résolus de successions quadratiques

Exercice 1

Être la succession s = 1, 3, 7, 13, 21,…. Déterminez oui:

i) il est régulier ou non

ii) est quadratique ou non

iii) était quadratique, la succession des différences et leur raison

Il peut vous servir: limiter les propriétés (avec des exemples)

Réponses

i) Calculaçons la différence le terme suivant et le précédent:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Nous pouvons affirmer que la succession n'est pas régulière, car la différence entre les termes successives n'est pas constante.

ii) La succession des différences est régulière, car la différence entre ses termes est la valeur constante 2. Par conséquent, la succession d'origine est quadratique.

iii) Nous avons déjà déterminé que S est quadratique, la succession des différences est:

S_Dif = 2, 4, 6, 8,… et sa raison est r = 2.

Exercice 2

Être la succession s = 1, 3, 7, 13, 21,… de l'exemple précédent, où il a été vérifié qu'il était quadratique. Déterminer:

i) la formule qui détermine le terme général t_{n .}

ii) Vérifiez le troisième et le cinquième terme.

iii) la valeur du dixième mandat.

Réponses

i) la formule générale de t_n est un ∙ n² + B ∙ n + c. Alors il est connu les valeurs de a, b et c.

La succession des différences est correcte 2. En plus de toute succession quadratique, la raison est 2 ∙ A comme démontré dans les sections précédentes.

R = 2 ∙ a = 2 qui nous amène à conclure que a = 1.

Le premier terme de la succession des différences s_Dif Il est 2 et doit se conformer à ∙ (2n + 1) + b, avec n = 1 et a = 1, c'est-à-dire:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + b

La compensation b est obtenue: b = -1

Alors le premier terme de S (n = 1) Vale 1, c'est-à-dire: 1 = a ∙ 1² + B ∙ 1 + c. Comme nous savons déjà que a = 1 et b = -1, nous remplaçant, nous sommes laissés:

1 = 1 ∙ 1² + (-1) ∙ 1 + c

La compensation c est obtenue sa valeur: c = 1.

En résumé:

A = 1, b = -1 et c = 1

Alors le terme est juste_n = n² - N + 1

ii) le troisième terme t₃ = 3² - 3 + 1 = 7 et est vérifié. Le cinquième t₅ = 5² - 5 + 1 = 21 qui est également vérifié.

iii) le dixième mandat sera t_dix = 10² - 10 + 1 = 91.

Exercice 3

Séquence de zones pour l'exercice 3. Source: auto-faite.

La figure montre une séquence de cinq figures. Le réticulé représente l'unité de longueur.

Peut vous servir: différence entre une fraction commune et un nombre décimal

i) Déterminer la succession du domaine des chiffres.

i) Montrez que c'est une succession quadratique.

iii) Trouvez la zone de la figure # 10 (non illustrée).

Réponses

i) La succession correspondant à la zone de la séquence des figures est:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) La succession correspondant aux différences consécutives des termes de S est:

S_Dif = 2, 4, 6, 8,…

Comme les différences entre les termes consécutives ne sont pas constantes, donc S n'est pas une succession régulière. Il doit savoir s'il est quadratique, pour lequel nous réalisons à nouveau la séquence des différences, obtenant:

2, 2, 2, .. .

Étant donné que tous les termes de la séquence sont répétés, il est confirmé que S est une succession quadratique.

iii) succession s_Dif est régulier et sa raison r est 2. En utilisant l'équation précédemment démontrée r = 2 ∙ a, reste:

2 = 2 ∙ a, ce qui implique que a = 1.

Le deuxième mandat de la succession des différences s_Dif Il est 4 et le n-eme de S_Dif est

A ∙ (2n + 1) + b.

Le deuxième terme a n = 2. Il a également été déterminé que A = 1, donc en utilisant l'équation précédente et en le remplace:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + b

La compensation b est obtenue: b = -1.

Il est connu que le deuxième terme de S vaut 2 et que la formule du terme général doit remplir avec n = 2:

T_n = A ∙ n² + B ∙ n + c; n = 2; A = 1; B = -1; T₂ = 2

C'est-à-dire

2 = 1 ∙ 2² - 1 ∙ 2 + C

Il est conclu que c = 0, c'est-à-dire que la formule qui donne le terme général de la succession s est:

T_n = 1 ∙ n² - 1 ∙ n +0 = n² - n

Maintenant, le cinquième mandat est vérifié:

T₅ = 5² - 5 = 20

iii) La figure n ° 10, qui n'a pas été dessinée ici, aura la zone correspondant au dixième mandat de la succession S:

T_dix = 10² - 10 = 90

Les références

1. https: // www.Géogebra.org