Propriétés de symétrie axiale, exemples et exercices

La Symétrie axiale Il se produit lorsque les points d'une figure coïncident avec les points d'une autre figure au moyen d'un médiat droit appelé axe de symétrie. Il est également appelé symétrie radiale, rotationnelle ou cylindrique.

Il est généralement appliqué sur des figures géométriques, mais il est facilement observable de nature, car il y a des animaux tels que des papillons, des scorpions, des étagères ou correctement les humains qui présentent une symétrie axiale.

Dans cette photo de l'horizon de la ville de Toronto et sa réflexion dans la symétrie axiale de l'eau est présentée. (Source: Pixabay)

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Comment trouver l'axial symétrique

Pour trouver le p 'axial symétrique d'un point p par rapport à une ligne (l) Les opérations géométriques suivantes sont effectuées:

1.- Le perpendiculaire à la ligne (l) est tracé qui passe par le point P.

2.- L'interception des deux lignes détermine un point ou.

3.- La longueur du segment PO est mesurée, puis cette longueur est copiée sur la ligne (PO) à partir de ou dans la direction de P a ou de déterminer le point P '.

4.- Point P.

Figure 1. Deux points P et P 'sont axialement symétriques à un axe (L) si ledit axe est MediaTrix du segment PP'

Propriétés de la symétrie axiale

- La symétrie axiale est isométrique, c'est-à-dire les distances d'une figure géométrique et son symétrique correspondant.

- La mesure d'un angle et celle de ses symétriques sont les mêmes.

- L'axial symétrique d'un point sur l'axe de symétrie est le point lui-même.

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- La ligne symétrique d'une ligne parallèle à l'axe de symétrie est également un décrochage parallèle audit axe.

- Une ligne sécante à l'axe de symétrie est symétrique.

- L'image symétrique d'une ligne est une autre ligne qui forme un angle avec l'axe de symétrie de la même mesure que celle de la ligne d'origine.

- L'image symétrique d'une ligne perpendiculaire à l'axe de symétrie est une autre ligne qui chevauche le premier.

- Une ligne et sa ligne symétrique axiale forment un angle dont la bissectrice est l'axe de symétrie.

Figure 2. La symétrie axiale conserve les distances et les angles.

Exemples de symétrie axiale

La nature présente des exemples abondants de symétrie axiale. Par exemple, vous pouvez voir la symétrie des visages, des insectes tels que les papillons, la réflexion sur les surfaces des eaux et des miroirs calmes ou les feuilles des plantes, entre autres.

figure 3. Ce papillon présente une symétrie axiale presque parfaite. (Source: Pixabay) Figure 4. Le visage de cette fille a une symétrie axiale. (Source: Pixabay)

Exercices de symétrie axiale

Exercice 1

Vous avez le triangle des sommets A, B et C dont les coordonnées cartésiennes sont respectivement a = (2, 5), b = (1, 1) et c = (3,3). Trouvez les coordonnées cartésiennes du triangle symétrique par rapport à l'axe y (axe des ordonnées).

Solution: Si un point P a des coordonnées (x, y), alors son symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (axe y) est p '= (-x, y). Autrement dit.

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Dans ce cas, le triangle symétrique des sommets a ', b' et c 'aura des coordonnées:

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) et c' = (-3, 3) comme peuvent être vérifiés sur la figure 6.

Figure 6. Si un point a des coordonnées (x, y), son symétrie par rapport à l'axe y (axe des ordonnées) aura des coordonnées (-x, y).

Exercice 2

En référence au triangle ABC et à son a'b'c 'symétrique de l'exercice 1, vérifiez que les côtés correspondants du triangle d'origine et son symétrique ont la même longueur.

Solution: Pour trouver la distance ou la longueur des côtés, nous utilisons la formule de distance euclidienne:

d (a, b) = √ ((bx-ax) ^ 2 + (by-ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((-1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Ensuite, la longueur du côté symétrique correspondant à'b 'est calculée:

D (a ', b') = √ ((bx'-ax ') ^ 2 + (by'-y ^ 2) = √ ((-1 +2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4 123

De cette façon, il est prouvé que la symétrie axiale préserve la distance entre deux points. La procédure peut être répétée pour les deux autres côtés du triangle et son symétrique pour vérifier l'invariance en longueur. Par exemple | AC | = | A'c '| = √5 = 2 236.

Exercice 3

En ce qui concerne le triangle ABC et son a'b'c 'symétrique de l'exercice 1, vérifiez que les angles correspondants du triangle d'origine et leur symétrique ont la même mesure angulaire.

Solution: Pour déterminer les mesures des angles BAC et B'A'C 'Le produit scalaire des vecteurs sera calculé en premier UN B avec CA Et puis le produit scalaire de Un B ' avec A'c '.

Se souvenir que:

A = (2, 5), b = (1, 1) et c = (3,3)

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) et c' = (-3, 3).

Tu as:

UN B = Y CA =

de la même manière

Un B ' = Y CA =

Peut vous servir: Théorème de Lamy

Ensuite, les produits scalaires suivants sont trouvés:

Abcis = ⋅ = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

De la même manière

A'b'⋅a'c ' = ⋅ = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

La mesure de l'angle de BAC est:

∡bac = arccos ( Abcis / (|AB |⋅ |AC |)) = 

Arccos (7 / (4 123⋅2,236)) = 40,6º

De même, la mesure de l'angle b'a'c 'est:

∡b'a'c '= arccos ( A'b'⋅a'c ' / (|A'b '|⋅ |A'c '|)) = 

Arccos (7 / (4 123⋅2,236)) = 40,6º

Concluant que la symétrie axiale préserve la mesure des angles.

Exercice 4

Être un point P de coordonnées (a, b). Trouvez les coordonnées de son p 'axial symétrique par rapport à la ligne y = x.

Solution: Nous appellerons (a ', b') aux coordonnées du point symétrique p 'par rapport à la ligne y = x. Le point médian du segment pp 'a des coordonnées ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) et est également sur la ligne y = x, donc l'égalité suivante est respectée:

A + a '= b + b'

D'un autre côté, le segment PP 'a en attente -1 pour être perpendiculaire à la ligne y = x de la pente 1, de sorte que l'égalité suivante est respectée:

B - b '= a' -a

Effacer les deux égalités avant «et b», il est conclu que:

a '= b et ce que b' = a.

C'est-à-dire, étant donné un point P (a, b), son axial symétrique par rapport à la ligne y = x est p '(b, a).

Les références

1. Arce m., Blázquez S et autres. Transformations de plan. Récupéré de: educutmxli.Des dossiers.Wordpress.com
2. Calcul CC. Symétrie axiale. Récupéré de: calcul.Dc
3. Superprof. Symétrie axiale. Récupéré de: superprof.est
4. Wikipédia. Symétrie axiale. Récupéré de: est.Wikipédia.com
5. Wikipédia. Circulaire de symétrie. Récupéré de: dans.Wikipédia.com