Quelle est la directive? (Géométrie)

La directif En géométrie, il se compose d'une courbe, d'une surface ou d'un volume qui reste fixe et détermine la façon dont un objet géométrique est formé. Par exemple, par une ligne, d'autres courbes telles que coniques et les surfaces de révolution, comme le cylindre circulaire droit, sont établis.

La courbe des lignes directrices peut également être une circonférence. Un cylindre circulaire droit peut être formé en laissant un rayon ri -r rión ri.

Figure 1. Un cylindre circulaire droit a pour guide un cercle, autour duquel une ligne droite appelée Generatrix se déplace. Source: F. Zapata.

La circonférence, qui est sur le plan dessinée sur la figure, détermine la forme de la surface incurvée du cylindre circulaire droit, qui est généré en tournant la ligne autour d'elle, appelée Straight Generatrix.

Si la courbe de guidage n'est pas une circonférence, mais une autre courbe, d'autres types de cylindre sont générés, comme le cylindre elliptique, dont la directive est une ellipse.

Une circonférence peut également agir comme une ligne directrice pour générer une autre courbe, telle est le cas du Épitrocoïde, Une courbe dans le plan généré par un point, qui à son tour est dans un cercle plus petit qui roule sans glisser, autour de la directive.

Il est plus facile de l'apprécier visuellement par l'animation suivante:

Figure 2. La courbe rouge est appelée Épitrode et sa courbe de ligne directrice. Source: Wikimedia Commons. Sam Derbyshire à l'anglais Wikipedia / CC By-S (http: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0 /).

La courbe des lignes directrices sur les surfaces cylindriques

Les surfaces cylindriques sont classées en fonction de leur courbe de ligne directrice dans les cylindres:

-Circulaire

-Elliptique

-Parabolique

-Hyperbolique

Lorsqu'une surface cylindrique a une ligne directrice qui se trouve dans un plan perpendiculaire à celui de la ligne Generatrix, l'équation de ladite surface est la même que la directive de la directive.

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Les cylindres appartiennent au groupe de Surfaces quadriques, dont l'équation est en deuxième année avec trois variables. La forme générale est:

Hache² + Par² + CZ² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + k = 0

Où les coefficients a, b, c ... sont des nombres réels.

Les cylindres sont les corps géométriques à trois dimensions les plus courants et les plus utiles qui peuvent être trouvés, en particulier les cylindres circulaires droits, mais les autres types de cylindres décrits ci-dessous ont également des applications en ingénierie et en conception.

Cylindre circulaire droit

Sa directive est un cercle C qui se trouve dans un plan perpendiculaire au cylindre, comme le montre la figure 1, car la ligne Generatrix, qui fonctionne vers C pour former la surface latérale, est perpendiculaire à C.

L'équation de la circonférence C sur le plan XY, axée sur l'origine (0,0) est:

X² + et² = R²

Où r, le rayon de la circonférence sera évidemment le rayon du cylindre. La hauteur h du cylindre s'étend le long de l'axe z, perpendiculaire au plan xy.

Cylindre elliptique

La directive est une ellipse dans le plan XY centré sur l'origine (0,0), dont l'équation est:

La génératrice est une ligne perpendiculaire au plan XY, qui se déplace autour de l'ellipse pour donner naissance à la surface latérale. L'ellipse peut être à n'importe quelle hauteur z sur le plan XY.

Par exemple, l'ellipse de l'équation:

4x² + 9Y² = 36

C'est la courbe des lignes directrices qui donne naissance au cylindre elliptique dont l'équation est 4x² + 9Y² = 36, plus z = 0. Ajoutant cette dernière expression, il est clair que c'est la surface.

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Cylindre parabolique

Dans ce cas, la directive est une parabole, qui peut être de la forme y = x². Ainsi, le cylindre est dirigé le long de l'axe Z et forme des paraboles empilées avec un sommet en (0,0) le long de cet axe.

Le cylindre parabolique a une application dans l'énergie solaire, car certains collectionneurs ont des miroirs de cette manière, à travers lesquels la lumière du soleil est concentrée dans l'attention. Ce point passe un tuyau droit dans lequel une huile atteint des températures jusqu'à 400 º C.

Cylindre hyperbolique

Dans le cylindre hyperbolique, l'équation de la directive est l'hyperbole centrée sur l'origine:

Le cylindre est formé à la pile.

Surface de la révolution

La courbe des directives d'une surface de révolution est le même axe de révolution, la ligne autour de laquelle la courbe qui est responsable de la génération de la surface.

La courbe qui tourne peut avoir une forme arbitraire, de cette façon, une zone est générée comme on le voit dans cette animation:

figure 3. Une surface de révolution. Source: Wikimedia Commons. https: // télécharger.Wikimedia.Org / wikipedia / commons / e / e7 / rotationskoerper_animation.Gif.

Si une autre ligne est transformée autour de la directive, le cylindre circulaire droit déjà familier est obtenu. De la même manière, d'autres surfaces de révolution peuvent être obtenues, comme les surfaces de révolution coniques, sphériques et toroïdales.

Surface conique

Une surface conique est générée par le mouvement d'une ligne de génération qui passe toujours à travers la courbe plate fixe ou la courbe de directive et par le point fixe appelé sommet, qui n'appartient pas au plan de ligne directrice.

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Le sommet ou la pointe divise le cône en deux parties, appelées feuilles soit branches.

Exercices résolus

- Exercice 1

Trouvez la zone latérale du cylindre circulaire élevé de hauteur 25 cm, dont la courbe de ligne directrice est la circonférence du rayon de 6 cm, axée sur l'origine.

Solution

La zone latérale du cylindre est le produit de la longueur de la directive par hauteur. Si R est le rayon de la circonférence et que H est la hauteur du cylindre, la zone est donnée par:

A = 2πr x h = 2πx 6 cm x 25 cm = 942.5 cm²

- Exercice 2

Vous avez l'équation suivante qui correspond à une surface quadrique:

X² + et² + 2Z² +2xz - 2yz = 1

Indiquer de quelle surface il s'agit et quelle est l'équation de la directive.

Solution

Faisant z = k, où k est constant, il est obtenu:

X² + et² + 2K² +2kx - 2ky = 1

Nous réorganisons les termes comme suit:

(X² + 2kx) + (et²- 2ky) = 1-2k²

Les carrés doivent², Afin de ne modifier aucune des parenthèses:

(X² + 2kx + k² - k² ) + (et² - 2ky + k² - k²) = 1-2k²

(X² + 2kx + k²) - k²  + (et²- 2ky + k²) - k² = 1-2k²

De cette façon, il reste:

(x + k)² + (et K)² = 1

Comme c'est l'équation d'un cercle central (-k, k) et du rayon 1, la surface est un cylindre circulaire droit, également de la radio 1, tant que la ligne Generatrix est perpendiculaire à ladite circonférence.

Par exemple, en faisant k = 0, l'équation est réduite à la circonférence centrée sur l'origine (0,0) dont le rayon est 1:

X² + et² = 1

Les références

1. Gaussiens. Représenter les surfaces à trois dimensions. Récupéré de: Gaussiens.com.
2. Kindle, J. Théorie et problèmes de géométrie analytique. McGraw Hill. Série Schaum.
3. Surfaces comme lieux géométriques. Récupéré de: algèbre.FRLP.UTN.Édu.ardente.
4. Suárez, m. Surfaces. Récupéré de: Sujets.Unq.Édu.ardente.
5. Surfaces quadriques. Récupéré de: Systèmes.fciencias.Unam.mx.