Propriétés, exemples et opérations des nombres rationnels

Les nombres rationnels Ce sont tous les nombres qui peuvent être obtenus comme division de deux nombres entiers. Des exemples de nombres rationnels sont les suivants: 3/4, 8/5, -16/3 et ceux qui apparaissent dans la figure suivante. Dans un numéro rationnel, le quotient est indiqué, étant possible de le faire plus tard si nécessaire.

Dans la figure, tout objet est représenté, rond pour le confort. Si nous voulons le diviser en 2 parties égales, comme à droite, nous avons deux moitiés et chacune est 1/2.

Figure 1. Les nombres rationnels sont utilisés pour diviser l'ensemble en différentes parties. Source: freesvg.

En le divisant en 4 parties égales, nous obtiendrons 4 pièces et chacune vaut 1/4, comme dans l'image du centre. Et si vous devez le distribuer en 6 parties égales, alors chaque partie valait 1/6, ce que nous voyons dans l'image de gauche.

Bien sûr, nous pourrions également le diviser en deux parties non égales, par exemple, nous pourrions garder 3/4 parties et économiser 1/4 partie. D'autres divisions sont également possibles, telles que 4/6 parties et 2 parties. L'important est que la somme de toutes les parties est 1.

De cette façon, il est évident qu'avec des nombres rationnels, vous pouvez diviser, compter et distribuer des choses telles que la nourriture, l'argent, la terre et toutes sortes d'objets en fractions. Et donc le montant des opérations qui peut être effectué avec les chiffres est étendu.

Les nombres rationnels peuvent également être exprimés de manière décimale, comme on peut le voir dans les exemples suivants:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857…

Plus tard, nous indiquons comment passer d'une voie à l'autre avec des exemples.

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Propriétés des nombres rationnels

Les nombres rationnels, dont nous désignerons la lettre Q, ont les propriétés suivantes:

-Q comprend des nombres naturels n et n nombres entiers.

Compte tenu de ce nombre pour Il peut être exprimé comme le quotient entre eux et 1, il est facile de voir qu'il y a aussi des nombres naturels et les entiers.

Ainsi, le numéro 3 naturel peut être écrit comme une fraction, et aussi -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

De cette manière, c'est un ensemble numérique qui couvre un plus grand nombre de nombres, quelque chose de très nécessaire, les nombres "ronds" ne sont pas suffisants pour décrire toutes les opérations possibles à faire.

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-Des nombres rationnels peuvent être ajoutés, soustraits, multipliant et divisant, le résultat de l'opération étant un nombre rationnel: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Entre chaque couple de nombres rationnels, un autre nombre rationnel peut toujours être trouvé. En fait, entre deux nombres rationnels, il y a une infinité rationnelle. 

Par exemple, entre rationnel 1/4 et 1/2 sont rationnels 3/10, 7/20, 2/5 (et bien d'autres), qui peuvent être vérifiés les exprimant comme des décimales.

-Tout nombre rationnel peut être exprimé comme: i) un entier ou ii) une décimale limitée (stricte) ou un journal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666…

-Le même nombre peut être représenté par des fractions équivalentes infinies et toutes appartiennent à q. Regardons ce groupe:

Tous représentent la décimale 0.428571 ..

-Parmi toutes les fractions équivalentes qui représentent le même nombre, la fraction irréductible, la plus simple de toutes, est la Représentant canonique de ce nombre. Le représentant canonique de l'exemple précédent est 3/7.

Figure 2.- L'ensemble Q de nombres rationnels. Source: Wikimedia Commons. Uvm eduardo artur / cc by-s (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 4.0).

Exemples de nombres rationnels

-Propres fractions, celles dans lesquelles le numérateur est inférieur au dénominateur:

-Fractions incorrectes, dont le numérateur est supérieur au dénominateur:

-Nombres naturels et nombres entiers:

-Fractions équivalentes:

Représentation décimale d'un nombre rationnel

Lorsque le numérateur est divisé entre le dénominateur est la forme décimale du nombre rationnel. Par exemple:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 ..

6/11 = 0.545454…

Dans les deux premiers exemples, la quantité de décimales est limitée. Cela signifie que lorsque la division est faite, un repos est obtenu.

D'un autre côté, dans les deux prochains, le nombre de décimales est infini et c'est pourquoi les points suspendus sont placés. Dans ce dernier cas, il y a un modèle dans les décimales. Dans le cas de la fraction 1/9, la figure 1 est répétée indéfiniment, tandis qu'en 6/11, il est 54.

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Lorsque cela se produit, il est dit que la décimale est un journal et est notée par un accent circonflexe comme suit:

Transformer une décimale en fraction

S'il s'agit d'une décimale limitée, la virgule est simplement éliminée et le dénominateur devient l'unité suivie de autant de zéros que les chiffres ont la décimale. Par exemple, pour transformer la décimale 1.26 En fraction, il est écrit comme ceci:

1.26 = 126/100

Ensuite, la fraction résultante est simplifiée au maximum:

126/100 = 63/50

Si la décimale est illimitée en premier, la période est identifiée. Ensuite, ces étapes sont suivies pour trouver la fraction résultante:

-Le numérateur est la soustraction entre le nombre (pas de coma ou d'accent circonflexe) et la pièce qui ne porte pas l'accent circonflexe.

-Le dénominateur est un entier avec autant de 9 que les chiffres qu'il y a sous le circonflexe, et autant ou comme des figures dans la partie décimale, ils ne sont pas sous le circonflexe.

Suivons cette procédure pour transformer le numéro décimal 0,428428428… en fraction.

-Tout d'abord, la période est identifiée, qui est la séquence qui est répétée: 428.

-Ensuite, le fonctionnement de la soustraction du nombre sans coma ou accent est effectué: 0428 de la pièce qui n'a pas de circonflexe, qui est 0. C'est 428 - 0 = 428.

-Le dénominateur est construit, sachant que sous le circonflexe, il y a 3 chiffres et tous sont sous le circonflexe. Par conséquent, le dénominateur est 999.

-Enfin, la fraction est formée et simplifiée si possible:

0.428 = 428/999

Il n'est pas possible de simplifier plus.

Opérations de numéros rationnels

- Ajouter et soustraire

Fractions avec le même dénominateur

Lorsque les fractions ont le même dénominateur, ajoutez-les et / ou soustrayez-les est très facile, car les numérateurs sont simplement ajoutés algébriquement, laissant comme un dénominateur du résultat au même des ajouts. Enfin, si possible, il est simplifié.

Exemple

Effectuez la somme algébrique suivante et simplifiez le résultat:

La fraction résultante est déjà irréductible.

Fractions avec un dénominateur différent

Dans ce cas, les addateurs sont remplacés par des fractions équivalentes par le même dénominateur, puis la procédure est déjà décrite. 

Exemple

Ajoutez algébriquement les nombres rationnels suivants simplifiant le résultat:

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Les étapes sont:

-Déterminez le multiple commun minimum (MCM) des dénominateurs 5, 8 et 3:

MCM (5,8,3) = 120

Ce sera le dénominateur de la fraction résultante sans simplifier.

-Pour chaque fraction: divisez le MCM entre le dénominateur et multipliez par le numérateur. Le résultat de cette opération est placé, avec son signe respectif, dans le numérateur de fraction. De cette façon, une fraction équivalente à l'original est obtenue, mais avec le MCM en tant que dénominateur.

Par exemple, pour la première fraction, le numérateur est construit comme ceci: (120/5) x 4 = 96 et est obtenu:

Procéder de la même manière pour les fractions restantes:

Enfin, les fractions équivalentes sont remplacées sans oublier leur signe et la somme algébrique des numérateurs est faite:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplication et division

La multiplication et la division sont effectuées en suivant les règles ci-dessous:

figure 3. Règles pour effectuer la multiplication et la division des nombres rationnels. Source: F. Zapata.

En tout cas, il est important de se rappeler que la multiplication est commutative, ce qui signifie que l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit. Cela ne se produit pas avec la division, vous devez donc prendre soin de respecter l'ordre entre le dividende et le diviseur.

Exemple 1

Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Réponds à

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Réponse b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36/10 = -18/5

Exemple 2     

Luisa avait 45 $. Il a passé un dixième à acheter un livre et 2/5 parties de ce qui restait dans une chemise. Combien d'argent Luisa a-t-il laissé? Exprimer le résultat d'une fraction irréductible.

Solution

Le coût du livre (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Par conséquent, Luisa est resté avec:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Avec cet argent, Luisa est allé au magasin de vêtements et a acheté la chemise, dont le prix est:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Maintenant, Luisa a dans le portefeuille:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Pour l'exprimer en fraction, il est écrit comme ceci:

24.3 = 243/10

C'est irréductible.

Les références

1. Baldor, un. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Carena, m. 2019. Manuel de mathématiques. Université nationale de la côte.
3. Figuera, J. 2000. Mathématiques 8. Éditions co-bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Nombres rationnels. Récupéré de: Cimanet.Uoc.Édu.
6. Nombres rationnels. Récupéré de: webdelprofesor.Ula.aller.